Доверительный интервал для матожидания

[Nogin Anton]

Подскажите пожалуйста как решить эту задачу..

По данной выборке с надёжностью 0,95 построить доверительный интервал для математического ожидания СВ X, имеющей нормальное распределение.

[maxmatem]

А в чем дело? Всё стандартно. Хоть начните

[Nogin Anton]

Я не уверен :)

Доверительный интервал:

$(\bar{x} -0.95 ; \bar{x}+0.95)$

$\bar{x}=\frac{1}{n} \sum x_i =\frac{1}{5} \cdot 21 =4.2$

$(3.25; 5.15)$

[Joker_vD]

Насколько я помню, построение доверительного интервала для матожидания нормально распределенной величины с неизвестной дисперсией использование распределения Стьюдента...

[Nogin Anton]

А как из распределения стьюдента перейти к доверительному интервалу?

У меня получается так:

$\tilde{\mu}=\frac1n(x_1 + ... + x_n)=4.2$

$\tilde{\sigma}^2=\frac{1}{n-1} \sum (x_i -\tilde{\mu})^2=0.25(10.24+1.44+0.04+0.64+14.4)=6.7$

[Nogin Anton]

по таблице нашёл коэффициент Стьюдента: 2,751

как дальше? :)

[Joker_vD]

Короче, вот кусочек из моего конспекта, хотя советую открыть нормальный учебник и прочитать там.

$\xi \sim N(a, \sigma^2)$, $a,\sigma$ — неизвестны; $\overline x = \frac1n\sum\limits_{i=1}^n x_i$, $s^2 = \frac1n\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\overline x)^2$, $s = \sqrt {s^2}$, $T(n-1)=\frac{\overline x - a}{s}\sqrt{n-1}$ — распределена по Стьюденту с $n-1$ степенью свободы, не зависит от $\sigma$; находим $t_{\text{кр}}\colon P\{|T(n-1)| > t_{\text{кр}}\} = 1-\gamma$, где $t_{\text{кр}}$ — двустронняя критическая точка, соответсвующая $(1-\gamma)100\%$, $P\{|T(n-1)|<t_{\text{кр}}\} = \gamma$, с вероятностью $\gamma$ имеем $\frac{|\overline x - a|}{s}\sqrt{n-1} < t_{\text{кр}}$, $|\overline x - a|<\frac{t_{\text{кр}}s}{\sqrt{n-1}}$, $\overline x - \frac{t_{\text{кр}}s}{\sqrt{n-1}} < a < \overline x + \frac{t_{\text{кр}}s}{\sqrt{n-1}}$; т.о., $\left(\overline x - \frac{t_{\text{кр}}s}{\sqrt{n-1}};\overline x + \frac{t_{\text{кр}}s}{\sqrt{n-1}}\right)$ — доверительный интервал для $a$ с коэффициентом доверия $\gamma$.

[Nogin Anton]

а в s опечтака? должно быть 1/(n-1)?

-- Сб июн 04, 2011 15:41:57 --

А как найти "а" для расчёта распределения стьюдента?

-- Сб июн 04, 2011 15:59:00 --

разобрался. оказалось всё просто :)

[Joker_vD]

Nogin Anton в сообщении #453978 писал(а):

а в s опечтака? должно быть 1/(n-1)?

У нас исправленную выборочную дисперсию обозначали через эс в квадрате со звездочкой: $s^{2*} = \frac1{n-1}\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2$. Так что опечатки нет.

Nogin Anton в сообщении #453978 писал(а):

А как найти "а" для расчёта распределения стьюдента?

Никак не надо. Вон та штука в правой части, зависящая от $a$, распределена по закону Стьюдента. Все, дальше выясняют, меньше чего она с заданной вероятностью.