Безкоординатные доказательства формул векторного анализа.

[Morkonwen]

Пользуясь правилами векторной алгебры и анализа и НЕ ПЕРЕХОДЯ к проекциям на оси координат доказать:

$div(\phi \vec{A})=\phi\, div(\vec{A})+A\, grad(\phi)$

$rot(\vec{A}\times \vec{B})=\vec{A}\, div(\vec{B})-\vec{B}\, div(\vec{A})+(\vec{B}\,\nabla)\,\vec{A}-(\vec{A}\,\nabla)\,\vec{B}$

Я могу без проблем доказать в декартовой системе, но что означает безкоординатный метод доказательства? Я знаю безкоординатное определение ротора, дивиргенции и градиента (через пределы потоков, циркуляций и т.п.) Но как их тут применить ума не приложу.

Кроме того, насколько я знаю есть удобное правило, позволяющее выводить такие соотношения. подскажите? Заранее спасибо!

-- Пт июн 03, 2011 22:09:54 --

Ага, правило нашел у Фейнмана но по поводу доказательства все равно не понятно. Есть подозрение, что правило то не спроста возникает=)

[Oleg Zubelevich]

не забивайте себе голову задачами, высосанными из пальца, изучайте тензорный анализ

[Morkonwen]

Oleg Zubelevich в сообщении #453729 писал(а):

не забивайте себе голову задачами, высосанными из пальца, изучайте тензорный анализ

Его и изучаю. Меня больше волнует не доказательство, а правило, по которому можно эти формулы получать не запоминая их. Но я его уже нашел

[caxap]

Набла -- дифференциальный оператор, поэтому его надо по очереди применить к каждому множителю, а все результаты сложить. Например, $\nabla(\phi A)=\nabla(\underline\phi A)+\nabla(\phi \underline A)=...$, где подчёркивание означает множитель, на который действует набла в этом слагаемом.

Во второй формуле ещё нужно правило "бац минус цаб".

[ewert]

Morkonwen в сообщении #453709 писал(а):

$div(\phi \vec{A})=\phi\, div(\vec{A})+A\, grad(\phi)$

$\vec\nabla\cdot(\phi \vec{A})=\vec\nabla\cdot(\dot{\phi} \vec{A})+\vec\nabla\cdot(\phi\dot{ \vec{A}})\equiv\vec\nabla\phi\cdot\vec{A}+\phi\,\vec\nabla\cdot\vec{A}\equiv\mathop\mathrm{grad}\phi\cdot\vec{A}+\phi\,\mathop\mathrm{div}\vec{A}.$

Всё остальное -- в том же духе.

[Morkonwen]

Да! у Фейнмана чуть другие обозначения - вместо подчеркивания, внизу у наблы индекс к чему применяется оператор, типа

$\vec{\nabla}(\phi \vec{A})=\vec{\nabla}_{\phi}(\phi \vec{A})+\vec{\nabla}_{A}(\phi \vec{A})$

а остальное так же - надо чисто векторными преобразованиями добится, чтобы оператор применялся к тому, какой у него индекс

[Oleg Zubelevich]

Morkonwen в сообщении #453709 писал(а):

Я могу без проблем доказать в декартовой системе

а если декартовой системы на многообразии нет даже локально (в окрестности точки)?

-- Сб июн 04, 2011 08:42:41 --

Morkonwen в сообщении #453709 писал(а):

$rot(\vec{A}\times \vec{B})=\vec{A}\, div(\vec{B})-\vec{B}\, div(\vec{A})+(\vec{B}\,\nabla)\,\vec{A}-(\vec{A}\,\nabla)\,\vec{B}$

между прочим очень интересная формула , rot div и векторное произведение зависят от метрики, причем rot и векторное произведение это аксиальные векторы, но аксиальность взаимно компенсируется. А $(\vec{B}\,\nabla)\,\vec{A}-(\vec{A}\,\nabla)\,\vec{B}$ называется коммутатором векторных полей (обозначается $[B,A]$), коммутатор не зависит от метрики и записывается одинаково во всех системах координат

[Joker_vD]

Oleg Zubelevich в сообщении #453860 писал(а):

а если декартовой системы на многообразии нет даже локально (в окрестности точки)?

Что же это за многообразие такое?

[Munin]

caxap в сообщении #453752 писал(а):

подчёркивание означает множитель, на который действует набла в этом слагаемом.

Если вы работаете с несколькими дифференциальными операторами, одного подчёркивания может не хватить. С другой стороны, подчеркнуть можно не одну букву, а целое подвыражение, чем этот способ лучше чем

Morkonwen в сообщении #453790 писал(а):

внизу у наблы индекс к чему применяется оператор

Ещё веселее ситуация становится, когда вам по алгебраическим причинам надо ввести производные, действующие справа, а не слева.

Короче, видимо, из-за отсутствия удобных обозначений простаивает некоторый кусок техники вычислений. Дерзайте, выдумывайте, пробуйте, в веках вас запомнят.