2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Последовательность целых чисел
Сообщение03.06.2011, 18:53 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Существует ли последовательность целых чисел $0=a_0<a_1<a_2<....$, для которой выполняются такие два условия:
1) Любое натурально число можно представить как $a_i+a_j$, где $i,j $- не обязательно различны.
2) Для всех натуральных $n$: $a_n>\frac{n^2}{16}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность целых чисел
Сообщение03.06.2011, 19:31 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Можно из ряда натуральных чисел вычеркнуть все числа у которых в двоичном исчислении есть единицы в четных и нечетных местах. Остаются только числа у которых 1 только в четных или только в нечетных местах. Очевидно, что любое натуральное число представляется в виде суммы (причем разных один из которых может быть 0) двух таких чисел. Оценка получается даже лучше $a_n\ge \frac{n^2}{4}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность целых чисел
Сообщение03.06.2011, 20:10 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Интересно) Я вобще думал, что такой последовательности не существует)
А доказательство оценки тяжёлое?)
Ща сам попробую..
значит между числами $2^k$ и $2^{k+1}$ в нашей последовательности будет ещё $2^{\left[\frac{k+1}{2}\right]}-1 $ чисел..Значит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность целых чисел
Сообщение03.06.2011, 21:00 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Для моей последовательности легко показать, что $$a_0=0, \ a_{2^{k+1}-1}=2^{2k}, \ a_{3*2^k-1}=2^{2k+1}.$$ Это дает возможность оценить.
Точнее получается $a_n>\frac{4n^2}{27}$. Причем этот коэффициент здесь не улучшаем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group