Последовательность целых чисел

[MrDindows]

Существует ли последовательность целых чисел $0=a_0<a_1<a_2<....$, для которой выполняются такие два условия:
1) Любое натурально число можно представить как $a_i+a_j$, где $i,j $- не обязательно различны.
2) Для всех натуральных $n$: $a_n>\frac{n^2}{16}$

[Руст]

Можно из ряда натуральных чисел вычеркнуть все числа у которых в двоичном исчислении есть единицы в четных и нечетных местах. Остаются только числа у которых 1 только в четных или только в нечетных местах. Очевидно, что любое натуральное число представляется в виде суммы (причем разных один из которых может быть 0) двух таких чисел. Оценка получается даже лучше $a_n\ge \frac{n^2}{4}.$

[MrDindows]

Интересно) Я вобще думал, что такой последовательности не существует)
А доказательство оценки тяжёлое?)
Ща сам попробую..
значит между числами $2^k$ и $2^{k+1}$ в нашей последовательности будет ещё $2^{\left[\frac{k+1}{2}\right]}-1 $ чисел..Значит...

[Руст]

Для моей последовательности легко показать, что

$$a_0=0, \ a_{2^{k+1}-1}=2^{2k}, \ a_{3*2^k-1}=2^{2k+1}.$$

Это дает возможность оценить.
Точнее получается $a_n>\frac{4n^2}{27}$. Причем этот коэффициент здесь не улучшаем.