короткие вопросы про длинные ряды

[tavrik]

1) если положительный ряд $\sum{a_n}$ сходится - то существует предел признака Даламбера $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$.
2) если ряд сходится и существует предел у признака Коши - то он меньше 1.
3) если положительный ряд $\sum{a_n}$ сходится, то и ряд $\sum{\sqrt{{a_n}a_{n+1}}}$ сходится.
4) если ряд $\sum{na_n}$, то и ряд $\sum{na_{n+1}}$ сходится.

в 1 и 3 - речь идет о строго положительных рядах а в 2 и 4 - нет.

Мои ответы:
1) да. сходимость положительного ряда задается степенью - то есть он стремится к 0 достаточно быстро. если этого предела не существует то и сходимости не будет.
2) нет. признаки Коши и Деламбера действую в одном направлении - если q<t=1 то сходится.
3) да. вроде бы можно сравнить с $\sum{\sqrt{a_na_n}}$.
4) неясно. но видимо нет.

Ваше мнение
Спасибо

[nnosipov]

"... существует предел признака Даламбера" и "существует предел у признака Коши" --- забавно звучит.

[Sonic86]

В 2. возможно будет полезно привести пример.
В 3. $a_n$ необязательно монотонно убывает. Можно, наверное, сравнить с последовательностью максимумов последовательностей $\{ a_n \}_{n=k}^{+ \infty}$ (т.е. $b_k := \max\limits_n \{ a_n \}_{n=k}^{+ \infty}$). , только придется доказывать, что она тоже сходится.
В 4. выразите $na_{n+1}$ через $(n+1)a_{n+1}$.

[tavrik]

да, вы правы.
сам признак сформулирован в форме предела.

[мат-ламер]

tavrik. А почему Вы решили, что на первый вопрос ответ - "да"?

[ewert]

tavrik в сообщении #453372 писал(а):

1) да. сходимость положительного ряда задается степенью - то есть он стремится к 0 достаточно быстро. если этого предела не существует то и сходимости не будет.

Причём тут степень-то. Возьмите, например, ряд, у которого каждый чётный член в эн раз меньше соответствующего нечётного.

Sonic86 в сообщении #453376 писал(а):

В 3. $a_n$ необязательно монотонно убывает. Можно, наверное, сравнить с последовательностью максимумов последовательностей $\{ a_n \}_{n=k}^{+ \infty}$ (т.е. $b_k := \max\limits_n \{ a_n \}_{n=k}^{+ \infty}$). , только придется доказывать, что она тоже сходится.

Достаточно просто неравенства Коши-Буняковского. Или ещё проще -- оценки через среднее арифметическое.

[Sonic86]

ewert писал(а):

Достаточно просто неравенства Коши-Буняковского. Или ещё проще -- оценки через среднее арифметическое.

Понятно. Я просто этим неравенством не пользовался никогда, поэтому переусложнил.