Найти значение минимума суммы функций синусов вида sin(a*x)

[mihiv]

Функция $F(x)=\sin a_1x+\dots +\sin a_nx$ нечетная,поэтому для нее $max=|min|=M$.Если $a_k=4k+1$,то при $x=\frac {\pi }2,M=n$,таким образом для рациональных $a_k$ выполняется оценка $\sqrt {\frac n2}\leq M\leq n$

[Gortaur]

Если разговор про практику - не быстрее ли будет считать тогда минимум спуском? Период же можно составить на котором искать минимум основываясь на $a_i$.

[_Ahilles_]

mihiv, хорошая идея найти оценку максимума для определенных коэффициентов. Спасибо.

-- Пт июн 03, 2011 06:22:46 --

Gortaur, насколько мне известно, метод спуска - это численный метод и позволяет вычислять минимум с использованием мощных вычислительных средств (ПК). Но исходным было желание найти аналитическое выражение минимума функции, чтобы, подставив туда нужные значения коэффициентов, найти значение минимума. Период этой функции я определил, но знание периода мне не помогает в поиске значения минимума...

[Gortaur]

Хорошо, тогда удачи. минимум полинома шестой степени и то аналитически не найдешь

[ИСН]

Да тут и численно-то не очень. Эта функция, она же by design имеет множество локальных минимумов. Разделённых - вот же подлость! - максимумами.

[Gortaur]

Согласен, сложно - но все же даже лучше, чем с многочленом (там даже не знаешь, сколько экстремумов - 3 или 5). Определили период, максимальное число экстремумов на нем известно.

[_Ahilles_]

Отсюда, я могу сделать вывод, что такими частностями, как данная задача, математики не занимаются. Иначе бы был известен подход к решению таких задач или же разработан целый мат. аппарат; но видимо, сама задача не стоит того...

[ewert]

_Ahilles_ в сообщении #453436 писал(а):

такими частностями, как данная задача, математики не занимаются. Иначе бы был известен подход к решению таких задач или же разработан целый мат. аппарат;

Понимаете, разные математики -- занимаются разными проблемами. Есть целые институты, которые десятилетиями решают уравнение $\cos x=ax$ при разных значениях $a$. Есть другие, которые изучают возможности вычисления самого косинуса. Ну а есть профаны, которые занимаются просто численными методами, в т.ч. оптимизацией, и даже одномерной.

[Gortaur]

ewert

(Оффтоп)

почему профаны-то?

[mihiv]

Еще оценка снизу.Пусть $M$ -модуль максимального уклонения функции $F(x)$ от $0$,а $I_{2k}=\frac1T\int \limits _0^TF^{2k}(x)dx$.Очевидно $M\geq \sqrt [2k]{I_{2k}}$,причем,видимо,несложно доказать,что предел правой части этого неравенства при $k\to \infty $ равен $M$.

[ИСН]

Можно, да. Но этот интеграл сам по себе не так-то легко подсчитать (при больших k). А самое неприятное, что если разрешён произвольный сдвиг по фазе, то максимальные отклонения от нуля вверх и вниз могут быть разными, и даже очень.

[mihiv]

Пусть мы нашли модуль наибольшего отклонения(для определенности вверх)равный $M$,тогда мы можем тоже рассмотрение(т.е.найти $I_{2k}$) проделать для функции $F_1(x)=M-F(x)$,модуль наибольшего уклонения для этой функции равен $M+M_1$,где M_1$ модуль наибольшего уклонения вниз для функции $F(x)$отсюда определим $M_1$

[ИСН]

Ну да, да. (Предварительно выяснив-таки, в какую же это сторону, потому что априори этого не понять.) Но главная проблема тут всё же с самим интегралом: вычислять его для разных k чем дальше, тем труднее, а предел сходится медленно.

[_Ahilles_]

ewert,

(Оффтоп)

что ж, было бы хорошо найти группу математиков и нежадных спонсоров, которые бы позволили решить эту частную задачу.:)

mihiv, спасибо за способ нахождения нижней границы. Я пытался найти подобным способом оценку минимума, но погрешность оценки оказалась высокой. Но за неимением лучшего, довольствуюсь пока этим.:)
Я, ребят, смотрел книжки Гантмахера (Осцилляционные матрицы..., Лекции по аналитической механике), но ничего там не нашёл (кроме того, мне как инженеру, слишком тяжелы такие книги для понимания - уровень знаний математики не позволяет прозрачно уловить смысл математических выражений) ; смотрел книгу Рыжик, Градштейн (Таблицы интегралов сумм ...), чтобы попытаться свести ряд к более простому, но увы - там чрезвычайно частные случаи рассматриваются. Радует то, что математики уже делали работу в схожем направлении.

(Оффтоп)

Мне, почему-то, всегда казалось, что математики любят получать общие результаты, чтобы из них получить частные, а в случае рядов у Рыжика и Градштейна - совсем не так.

[_Ahilles_]

ewert, на данном этапе мне требуется решить уравнение вида $\cos x=ax$ при разных значениях $a$. Ты упоминал, что такое уравнение уже умеют решать. Как решать это уравнение? Есть какие-нибудь книги?