доказать тождество

[all]

Помогите, я запуталась..
$ tgx \cdot tg\left( {\frac{\pi } {3} - x} \right) \cdot tg\left( {\frac{\pi } {3} + x} \right) = tg3x $

Решение:
$\begin{gathered} tgx \cdot tg\left( {\frac{\pi } {3} - x} \right) \cdot tg\left( {\frac{\pi } {3} + x} \right) = tg3x \hfill \\ tgx \cdot \frac{{\cos \left( {\frac{\pi } {3} - x - \frac{\pi } {3} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi } {3} - x + \frac{\pi } {3} + x} \right)}} {{\cos \left( {\frac{\pi } {3} - x + \frac{\pi } {3} + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi } {3} - x - \frac{\pi } {3} - x} \right)}} = tg3x \hfill \\ tgx \cdot \frac{{\cos \left( { - 2x} \right) - \cos \left( {\frac{{2\pi }} {3}} \right)}} {{\cos \left( {\frac{{2\pi }} {3}} \right) + \cos \left( { - 2x} \right)}} = tg3x \hfill \\ tgx \cdot \frac{{\cos 2x + \frac{1} {2}}} {{ - \frac{1} {2} + \cos 2x}} = tg3x \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} $

[ИСН]

Всей дорожки я не вижу, но когда в лесу темно, то идут к ближайшему фонарю, а там будет видно. Слева фигурируют x и 2x, а справа - 3x. Нельзя ли как-нибудь сделать, чтобы там перестали фигурировать 3x, а стали - тоже x и 2x?

[all]

Вот так если:
$ tgx \cdot \frac{{\cos 2x + \frac{1} {2}}} {{ - \frac{1} {2} + \cos 2x}} = \frac{{3tgx - tg^3 x}} {{1 - 3tg^2 x}} $

[ИСН]

В моей предыдущей фразе "там" означает "справа". Действуйте справа. Смысл в этом такой, что разложить $\tg3x$ я могу, а вот собрать вслепую - нет. Я не помню, как он выглядит в разобранном виде. А Вы?

[all]

Я формулы помню. Я и действую вправа.
Могу так представить: $ \frac{{\sin 3x}} {{\cos 3x}} $

[ИСН]

Спасибо, но это не то. Так-то любой сможет. Проблема дальше. Вы помните, как эти синусы-косинусы тройного аргумента собираются? Я нет.

-- Чт, 2011-06-02, 23:19 --

Если помните, то без разницы, конечно - можно и так.

[all]

Нее, не помню! Если только посмотреть формулы. Так как же проще все это расписать?:(

[ИСН]

ИСН в сообщении #453254 писал(а):

Нельзя ли как-нибудь сделать, чтобы там перестали фигурировать 3x, а стали - тоже x и 2x?

[all]

Ну вот я предложила 2 варианта - не подходят:(
Может тогда так: $\[ tg\left( {x + 2x} \right) \] $

[ИСН]

Ясен пень, те не подходят, потому что в них никуда не девались 3x!
А этот - подходит.

[all]

Дальше я пытаюсь по формуле сумма тригонометрических функций и прихожу ко второму предложенному мной варианту.

-- Чт июн 02, 2011 23:54:14 --

Или мне уже с левой частью работать и преобразовать cos2x?

[ИСН]

Если Вы приходите к чему-то, к чему уже приходили, но слева - то тождество доказано. А если нет, то я ничего не понял.

[all]

Вот к чему я прихожу: $\[ tg\left( {x + 2x} \right) = \frac{{\sin 3x}} {{\cos 3x}} \]$
:(

[ИСН]

Тьфу! Я-то думал!

-- Пт, 2011-06-03, 00:02 --

Встали с места и сели обратно. Стоило ли вставать?
Смотрите, где-то далеко за МКАДом в лесу живёт колдун. Он знает формулу для разложения $\tg(a+b)$...

[all]

$\[ tg\left( {x + 2x} \right) = \frac{{\sin 3x}} {{\cos x\cos 2x}} \] $