Разложение функции в ряд Фурье

[Cat]

Требуется разложить функцию
$ f(x)= \left\{ \begin{array}{l} x, при x\in [0,1],\\ 0, при x\in [1,2] \end{array} \right. $
в тригонометрический ряд Фурье по системе косинусов.
Период у меня получился равным 2, правильно ли это?

[Lion]

Во-первых, Ваша функция неправильно определена: в точке 1 она равна и 0, и 1.
Во-вторых, если функцию надо разложить по системе косинусов, то ее надо продолжить в отрицательную область четным образом, т.е. симметрично относительно оси Оу. А значит, период будет не 2, а 4.

[Capella]

По моему задача поставлена вообще не очень корректно. Дело в том, что коэффициенты ряда Фурье подразумевают под собой интеграл продуктов заданной функции с косинусом или синусом. Я так понимаю, что "под системой косинусов" спрашивается именно коэффициент

$$a_n$$

, но учитывая то, что функция

$$x$$

-нечётная, то эти коэффициенты будут равняться 0... Кроме того, действительно как-то странно задан промежуток.

Хотя я сейчас подумала, что на ТАКОМ промежутке действительно

$$a_n$$

не обнулится. Что касается самого вопроса, Вам надо посчитать не промежуток (или период), а интеграл на этом периоде.

[LynxGAV]

Для разложения по системе косинусов берется четное продолжение в отрицательную полуось (интервал) (то есть в общем случае для $a_n$ надо считать интеграл, а $b_n = 0$, если $f(x)$ - интегрируемая). А интегрировать надо от нуля до двух.

[Capella]

$$f(x) = x$$

- нечётная функция (хотя на этом интервале она и совпадает с

$$|x|$$

). Я думаю, в задании специально задан такой специальный интервал.

[LynxGAV]

А может интервал так задан для упрощения задачи? (Двоечка перед интегралом сократится .)

Добавлено спустя 45 минут 27 секунд:

"Мальчики", тут такое дело. Я говорю, что получается $b_n = 0$ ($n=1,2,..$), $a_n=\int\limits_0^1 x \cos \left(\frac{\pi n}{2}x\right)dx$ ($n=0,1,2,..$), а Capella -- нет. Кто рассудит?

Добавлено спустя 7 минут 53 секунды:

Похоже, достигли косенсуса без "мальчиков" .

[Capella]

Насчёт интеграла я не возражала, просто я думала, что период должен задаваться по компактноному носителю. Но скорее всего ты права. Тогда ещё получается

$$\frac 1 2$$

перед интегралом?!

[LynxGAV]

Capella писал(а):

Тогда ещё получается

$$\frac 1 2$$

перед интегралом?!

Там перед интегралом стоит фактор $\frac{2}{l}$ при периоде $2l$.

[Cat]

Извиняюсь, очепяточка вышла, конечно, функция задана так:
$ f(x)= \left\{ \begin{array}{l} x, при x\in [0,1],\\ 0, при x\in (1,2] \end{array} \right. $
Так все таки функцию надо продлить симметрично относительно OY? И тогда l=2, а период 4 и a_{n}=\int\limits_0^1 x\cos \left(\frac{\pi n} {2}x\rigth) dx?

[RIP]

Cat писал(а):

И тогда l=2, а период 4 и a_{n}=\int\limits_0^1 x\cos \left(\frac{\pi n} {2}x\rigth) dx?

Да.

[Genrih]

Cat писал(а):

Так все таки функцию надо продлить симметрично относительно OY?

Выбор периода - ето ли Ваш выбор или он должен быть задан условием. Без етого вообще смысла нет, независимо от определения функции.
В любом случае, помощь оказана:

LynxGAV писал(а):

Там перед интегралом стоит фактор $\frac{2}{l}$ при периоде $2l$.