2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Разложение функции в ряд Фурье
Сообщение15.12.2006, 18:11 
Аватара пользователя
Требуется разложить функцию
$ f(x)=
\left\{ \begin{array}{l}
x, при x\in [0,1],\\
0, при x\in [1,2]
\end{array} \right.
$
в тригонометрический ряд Фурье по системе косинусов.
Период у меня получился равным 2, правильно ли это?

 
 
 
 
Сообщение15.12.2006, 18:24 
Аватара пользователя
Во-первых, Ваша функция неправильно определена: в точке 1 она равна и 0, и 1.
Во-вторых, если функцию надо разложить по системе косинусов, то ее надо продолжить в отрицательную область четным образом, т.е. симметрично относительно оси Оу. А значит, период будет не 2, а 4.

 
 
 
 
Сообщение15.12.2006, 18:51 
Аватара пользователя
По моему задача поставлена вообще не очень корректно. Дело в том, что коэффициенты ряда Фурье подразумевают под собой интеграл продуктов заданной функции с косинусом или синусом. Я так понимаю, что "под системой косинусов" спрашивается именно коэффициент $$a_n$$, но учитывая то, что функция $$x$$-нечётная, то эти коэффициенты будут равняться 0... Кроме того, действительно как-то странно задан промежуток.

Хотя я сейчас подумала, что на ТАКОМ промежутке действительно $$a_n$$ не обнулится. Что касается самого вопроса, Вам надо посчитать не промежуток (или период), а интеграл на этом периоде.

 
 
 
 Хм.
Сообщение15.12.2006, 19:08 
Для разложения по системе косинусов берется четное продолжение в отрицательную полуось (интервал) (то есть в общем случае для $a_n$ надо считать интеграл, а $b_n = 0$, если $f(x)$ - интегрируемая). А интегрировать надо от нуля до двух.

 
 
 
 
Сообщение15.12.2006, 19:20 
Аватара пользователя
$$f(x) = x$$ - нечётная функция (хотя на этом интервале она и совпадает с $$|x|$$). Я думаю, в задании специально задан такой специальный интервал.

 
 
 
 
Сообщение15.12.2006, 20:26 
А может интервал так задан для упрощения задачи? (Двоечка перед интегралом сократится :lol:.)

Добавлено спустя 45 минут 27 секунд:

"Мальчики", тут такое дело. Я говорю, что получается $b_n = 0$ ($n=1,2,..$), $a_n=\int\limits_0^1 x \cos  \left(\frac{\pi n}{2}x\right)dx$ ($n=0,1,2,..$), а Capella -- нет. Кто рассудит?

Добавлено спустя 7 минут 53 секунды:

Похоже, достигли косенсуса без "мальчиков" :lol:.

 
 
 
 
Сообщение15.12.2006, 20:26 
Аватара пользователя
Насчёт интеграла я не возражала, просто я думала, что период должен задаваться по компактноному носителю. Но скорее всего ты права. Тогда ещё получается $$\frac 1 2$$ перед интегралом?!

 
 
 
 
Сообщение15.12.2006, 20:44 
Capella писал(а):
Тогда ещё получается $$\frac 1 2$$ перед интегралом?!


Там перед интегралом стоит фактор $\frac{2}{l}$ при периоде $2l$.

 
 
 
 
Сообщение16.12.2006, 11:14 
Аватара пользователя
Извиняюсь, очепяточка вышла, конечно, функция задана так:
$ f(x)=
\left\{ \begin{array}{l}
x, при x\in [0,1],\\
0, при x\in (1,2]
\end{array} \right.
$
Так все таки функцию надо продлить симметрично относительно OY? И тогда l=2, а период 4 и a_{n}=\int\limits_0^1 x\cos \left(\frac{\pi n} {2}x\rigth) dx?

 
 
 
 
Сообщение16.12.2006, 11:23 
Аватара пользователя
Cat писал(а):
И тогда l=2, а период 4 и a_{n}=\int\limits_0^1 x\cos \left(\frac{\pi n} {2}x\rigth) dx?

Да.

 
 
 
 
Сообщение16.12.2006, 15:13 
Аватара пользователя
Cat писал(а):
Так все таки функцию надо продлить симметрично относительно OY?

Выбор периода - ето ли Ваш выбор или он должен быть задан условием. Без етого вообще смысла нет, независимо от определения функции.
В любом случае, помощь оказана:
LynxGAV писал(а):
Там перед интегралом стоит фактор $\frac{2}{l}$ при периоде $2l$.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group