Маленькие вопросы по разным темам

[_hum_]

(Оффтоп)

caxap в сообщении #439761 писал(а):

Отчлечённый вопрос: вы не знаете, почему значительная часть библиографических ссылок по теме "measurement theory" отсылают к каким-то учебникам по психологии? Как психология вообще с этим связана?

Ну, скорее всего потому, что она там сейчас наиболее востребована - ведь в физике уже все в этом плане давно устоялось, чего не скажешь о других дисциплинах, где не так очевидно, как корректно строить шкалы измерений для свойств (той же громкости, цветности и проч.) - единственный вариант откинуть интуицию и работать напрямую по теории.

Цитата:

А без этой теории что такое "5 м" объяснить нельзя?

Ну, вы же не говорите, что конкретно вам непонятно, вот я и предложил вариант, где в полной мере все объясняется с математической точки зрения.
Возможно, вам станет что-то яснее, если вы сперва ознакомитесь с историей появления чисел (чтобы яснее понять, что не "измерения использует числа", а "числа возникли из измерений").

[caxap]

_hum_ в сообщении #439794 писал(а):

Ну, вы же не говорите, что конкретно вам непонятно, вот я и предложил вариант, где в полной мере все объясняется с математической точки зрения. Возможно, вам станет что-то яснее, если вы сперва ознакомитесь с историей появления чисел (чтобы яснее понять, что не "измерения использует числа", а "числа возникли из измерений").

Ну это я пониманию. Исторически, конечно, числа -- вторичны. То есть это то, что остаётся, если от физической величины отбросить размерность. И вообще, вся математика выросла из физики. Но вопрос в другом. Для математики число уже первично. Так вот, как математически описать понятие "числа с размерностью".

(К примеру)

Есть такие "физические" понятие как длина, площадь и т. д. Они перешли в математику и в настоящее время уже имеют строгую основу (всякие меры и т.п.). И уже это математическое понятие можно переносить обратно в реальный мир. Или, скажем, "бесконечно малая" величина в физике, назовём её "физический дифференциал". В математике бесконечно малого ничего нет и она более строго подошла к дифференциалу как к "линейному аналогу" функции в точки. И теперь это понятие уже можно переносить обратно в физику. Приятное дополнение -- это совместимость с "физическим дифференциалом": обычно физические зависимости дифференцируемы, а значит локально приближаются сколь угодно точно линейной функцией -- дифференциалом.

Интересно проследить такой же путь для числа с размерностью. То бишь как-то аксиоматически описать его в рамках математических понятий. (Тут надо выйти из некоторых проблем: например, если мы делим два числа одинаковой размерности, то получаем "чистое" число, которое можно в качестве аргумента отдать функции, определённой на $\mathbb R$.) Потом уже этот абстрактный объект можно перенести обратно в физику, сказав, что физическая величина -- это "число с размерностью" в математическом смысле.

Вообще, как я вижу, математическое описание физических понятий стало всеобщим. Были зависимые переменные в физике -- появились функции в матеатике; были векторы в физике -- появилось векторное пространство в математике; были тензоры в физике (набор чисел с линейным законом преобразования при смене базиса) -- появились в математике как элементы тензорного произведения векторных пространств и сопряжённых к ним и т. д. Почти всё, чем пользуются физики, математики перевели на свой язык. Но строгого описания для бытового понятия "5 яблок" и "5 кг" я не нашёл.

[caxap]

Снимаю последний вопрос.

[Xey]

_hum_ в сообщении #438962 писал(а):

Нас так на курсе физики учили, что энергетические уровни простой изолированной квантовой системы (того же атома водорода) - строго дискретны.

Конечность ширина уровней принципиальна. Она вытекает из соотношения неопределенности, чем меньше время жизни, тем шире уровень.
Интерес представляют хорошо излучающие /поглощающие переходы , т.е. уровни с небольшим временем жизни.

[_hum_]

Xey в сообщении #441178 писал(а):

_hum_ в сообщении #438962 писал(а):

Нас так на курсе физики учили, что энергетические уровни простой изолированной квантовой системы (того же атома водорода) - строго дискретны.

Конечность ширина уровней принципиальна. Она вытекает из соотношения неопределенности, чем меньше время жизни, тем шире уровень.
Интерес представляют хорошо излучающие /поглощающие переходы , т.е. уровни с небольшим временем жизни.

Как-то сомнительно. Как нам опять-таки объясняли, конечность времени жизни определяется взаимодействием с внешним электромагнитным полем. Так что для изолированной системы (о которой мы и вели речь) никакого размытия уровней быть, по идее, не должно.

[Xey]

_hum_ в сообщении #441298 писал(а):

Как нам опять-таки объясняли, конечность времени жизни определяется взаимодействием с внешним электромагнитным полем. Так что для изолированной системы (о которой мы и вели речь) никакого размытия уровней быть, по идее, не должно.

Атом водорода единственный, который просчитывается.
Можно вычислить его возможные уровни и времена жизни на них, и сразу будет ясно их уширение.

[caxap]

В учебнике Винберга по алгебре есть пример, где рассматривается приложения к кристаллографии и там написано

Цитата:

Пусть $\Gamma$ -- группа симметрии некоторой кристаллической структуры. [...]
Как правило, группа $\Gamma$, кроме параллельных переносов, содержит и другие движения. Именно они определяют симметрию реальных кристаллов, которую мы моем наблюдать, точнее, группа $G$ симметрии любого кристалла, симметрия структуры которого описывает группой $\Gamma$, совпадает с группой $d\Gamma$ линейных частей движений из $\Gamma$.

Не понял выделенную часть. Что такое группа $G$? Группа симметрии -- это же $\Gamma$...

[ИСН]

Вам погружаться в это, или чтобы галочку поставить и дальше пойти? Есть объект А: бесконечный, периодический во все стороны, с бесконечной группой симметрии $\Gamma$. Есть объект Б: с виду как камень, который можно покрутить в руках. У него конечная группа симметрии $G$ (зеркальные плоскости там, оси всякие). Называть эти объекты я не буду никак, чтобы не создавать сумятицу.

[caxap]

ИСН в сообщении #448626 писал(а):

Вам погружаться в это, или чтобы галочку поставить и дальше пойти?

Просто интересно (Я физику не люблю, но люблю примеры в математических книгах, где рассматривается приложения к физике... Парадокс.)

ИСН в сообщении #448626 писал(а):

Есть объект А: бесконечный, периодический [...]

Ааа! $\Gamma$ -- группа симметрии "кристалла", продолженного в бесконечность (напр. для соли будет бесконечная кубическая решётка). В неё входят параллельные переносы, отражения, повороты... А $G$ -- группа симметрии реального конечного кристалла (кубика соли). Параллельные переносы уже не входят в $G$, но линейные части (повороты, отражения, растяжения) преобразований из $\Gamma$ -- входят. Так?

Я верно думаю, что не бывает кристаллических структур, у которых гр. симметрии содержит растяжения? То есть гр. симметрии кристалла может включать только ортогональные преобразования + пар. переносы = движения?

[ИСН]

Верно. Ну, в классическом смысле. А то квазикристаллы какие-нибудь, наверное, могут...

[caxap]

Спасибо

[caxap]

У пространство Минковского сигнатура $(1,3)$ или $(3,1)$?

[caxap]

Задача. Найти число натуральных чисел, не превосходящих $1000$ и взаимно простых с $363$.

Задачка простая,

(Я решал в лоб)

$363=3\cdot 11^2$. Имеем $\lfloor \frac{1000}3\rfloor=333$ чисел делится на $3$, $\lfloor \frac{1000}{11}\rfloor=90$ чисел делится на $11$, но $\lfloor \frac{1000}{33}\rfloor=30$ чисел мы считаем дважды, получаем $1000-90-333+30=607$.

но предполагается после параграфа о функции Эйлера и теоремы Эйлера и Ферма. Не могу сообразить как тут их применить. (Вот если бы было не $1000$, а что-то кратное $363$, тогда бы можно было просто умножить $\varphi(363)=220$ на нужный множитель. Но тут не так.)

[nnosipov]

caxap в сообщении #452864 писал(а):

Задача. Найти число натуральных чисел, не превосходящих $1000$ и взаимно простых с $363$.

$363=3\cdot 11^2$. Имеем $\lfloor \frac{1000}3\rfloor=333$ чисел делится на $3$, $\lfloor \frac{1000}{11}\rfloor=90$ чисел делится на $11$, но $\lfloor \frac{1000}{33}\rfloor=30$ чисел мы считаем дважды, получаем $1000-90-333+30=607$.

Вполне разумное решение. Кстати, один из способов получить известную формулу для вычисления значений функции Эйлера --- именно такой.

[caxap]

nnosipov
А если там не 363, а что-то, состоящее из большого числа различных простых множителей? Так замучаешься считать. Вот, предположим, что я умею считать функцию Эйлера, знаю теорему Эйлера--Ферма и надо подсчитать количество натур. чисел не превосходящих $m$, взаимно простых с $n$ и $n\nmid m$. Есть ли более простой способ решения (чем почти прямой подсчёт, как у меня)?

-- 02 июн 2011, 13:24 --

(Оффтоп)

Кстати, не подскажите хороший учебник по (элементарной) теории чисел? Я вообще-то хотел ей заняться после алгебры, но хочу пока просто набраться быстренько ликбеза. Сейчас читаю "Алгебру и теорию чисел" МГЗПИ (простое пособие для заочников). Но хочется что-то посерьёзней. Я нагуглил большое количество книг, но не знаю, что выбрать.