разложение пространства

[Oleg Zubelevich]

$E$ -- банахово пространство, $A:E\to l_1$ -- ограниченный линейный оператор "на"

Доказать, что $E=M\oplus \mathrm{ker}\,A$, где $M$ -- замкнутое подпространство

[Oleg Zubelevich]

Через $\{e_n\},\quad n\in\mathbb{N}$ обозначим стандартный базис $l_1$, через $e'_k$ -- координатные функционалы: $ e'_j(e_k)=\delta_{jk}$. Пусть $w'_j=e'_jA\in E'$.

Утв. Cуществует линейно независимая система векторов $\{w_j\},\quad \|w_j\|_E\le C$ такая, что $w'_j(w_k)=\delta_{kj},\quad Aw_j=e_j.$

Док-во. Представим оператор $A$ в виде $A=fp$ [Робертсон Топологич. Вект. пространства], где $p:E\to E/\mathrm{ker}\,A$ -- естественная проекция,
$f:E/\mathrm{ker}\,A\to l_1$ -- непрерывно и взаимно однозначно; по теореме Банаха об обратном операторе $f^{-1}$ тоже непрерывно. Это означает, что $f^{-1}$ переводит ограниченные множества в ограниченные. Поэтому $\xi_j=f^{-1}e_j,\quad \|\xi_j\|_{E/\mathrm{ker}\,A}\le c$.



Таким образом, для каждого $j$ можно выбрать элемент $w_j\in\xi_j,\quad \|w_j\|_E\le 2c=C$ .

Утв доказано.


Рассмотрим оператор $P:E\to E$

$$Px=\sum_{k=1}^\infty w_k'(x)w_k.$$

Этот ряд сходится абсолютно: $\|Px\|_E\le \sum_{k=1}^\infty |w_k'(x)|\|w_k\|_E\le C\|Ax\|_{l_1}\le c_1\|x\|_E.$


Легко видеть, что $E=P(E)\oplus \mathrm{ker}\,A$. Замкнутость $P(E)$ проверяется непосредственно из непрерывности $P$ и формулы $P^2=P$.