2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 разложение пространства
Сообщение01.06.2011, 10:15 


10/02/11
6786
$E$ -- банахово пространство, $A:E\to l_1$ -- ограниченный линейный оператор "на"

Доказать, что $E=M\oplus \mathrm{ker}\,A$, где $M$ -- замкнутое подпространство

 Профиль  
                  
 
 Re: разложение пространства
Сообщение04.06.2011, 17:12 


10/02/11
6786
Через $\{e_n\},\quad n\in\mathbb{N}$ обозначим стандартный базис $l_1$, через $e'_k$ -- координатные функционалы: $ e'_j(e_k)=\delta_{jk}$. Пусть $w'_j=e'_jA\in E'$.

Утв. Cуществует линейно независимая система векторов $\{w_j\},\quad \|w_j\|_E\le C$ такая, что $w'_j(w_k)=\delta_{kj},\quad Aw_j=e_j.$

Док-во. Представим оператор $A$ в виде $A=fp$ [Робертсон Топологич. Вект. пространства], где $p:E\to E/\mathrm{ker}\,A$ -- естественная проекция,
$f:E/\mathrm{ker}\,A\to l_1$ -- непрерывно и взаимно однозначно; по теореме Банаха об обратном операторе $f^{-1}$ тоже непрерывно. Это означает, что $f^{-1}$ переводит ограниченные множества в ограниченные. Поэтому $\xi_j=f^{-1}e_j,\quad \|\xi_j\|_{E/\mathrm{ker}\,A}\le c$.



Таким образом, для каждого $j$ можно выбрать элемент $w_j\in\xi_j,\quad \|w_j\|_E\le 2c=C$ .

Утв доказано.


Рассмотрим оператор $P:E\to E$
$$Px=\sum_{k=1}^\infty w_k'(x)w_k.$$

Этот ряд сходится абсолютно: $\|Px\|_E\le \sum_{k=1}^\infty |w_k'(x)|\|w_k\|_E\le C\|Ax\|_{l_1}\le c_1\|x\|_E.$


Легко видеть, что $E=P(E)\oplus \mathrm{ker}\,A$. Замкнутость $P(E)$ проверяется непосредственно из непрерывности $P$ и формулы $P^2=P$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group