Через

обозначим стандартный базис

, через

-- координатные функционалы:

. Пусть

.
Утв. Cуществует линейно независимая система векторов

такая, что
Док-во. Представим оператор

в виде

[Робертсон Топологич. Вект. пространства], где

-- естественная проекция,

-- непрерывно и взаимно однозначно; по теореме Банаха об обратном операторе

тоже непрерывно. Это означает, что

переводит ограниченные множества в ограниченные. Поэтому

.
Таким образом, для каждого

можно выбрать элемент

.
Утв доказано.
Рассмотрим оператор


Этот ряд сходится абсолютно:

Легко видеть, что

. Замкнутость

проверяется непосредственно из непрерывности

и формулы

.