2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 О записи решений тригонометрических уравнений
Сообщение16.12.2006, 00:07 


21/06/06
1721
Пдскажите пожалуйста, вот например возникает такая ситуация:
1) Тригонометрическое уравнение распадается на два (ну понятно, например в произведение). Ясно, что решение - это, когда один из сомножителей равен нулю. Решать то нетрудно. Но вот, что делать в том случае, если пеерчечение множеств решений по первому и сторому сомножителю не пусто.

Короче говоря, является ли ошибкой указание одного и того же решения два или более число раз?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2006, 00:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Будем исходить из определений: требование "решить уравнение" означает: указать все те значения входящих в уравнение неизвестных, которые обращают уравнение в верное числовое равенство. Поэтому, формально говоря, ответ, в котором пересечение множеств решений по первому и второму сомножителю не пусто, является верным. Но требования конкретного учителя или предметной комиссии по математике на вступительном экзамене в Вузе могут быть более жесткими - и с этим ничего не поделаешь, придется искать представление решения в виде непересекающихся множеств. :cry:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2006, 00:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17992
Москва
В одном из пособий для абитуриентов (к сожалению, не смог вспомнить, в каком именно) было прямо написано, что каждый корень в ответе должен присутствовать только один раз, а нарушение этого требования рассматривается как ошибка. То есть, пересекающиеся серии корней нужно "прореживать" так, чтобы каждый корень встречался только один раз, а запись решения уравнения $\cos x=-1$ в виде $x=\pm\pi+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$, является неправильной. По этому поводу, конечно, можно спорить, но абитуриенту лучше не рисковать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2006, 01:10 


21/06/06
1721
Не хочу начинать нову тему, поэтому еще такой вопрос.

Мне почему то кажется, что синус и коминус любого угла соизмеримого, ну скажем с дугой равной полуокружности, является корнем некоторого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Верно ли это? А также верно ли, что любой корень алгебраического уравнения (не больший единицы) является синусом (или косинусом, что в общем то без разницы) некоторой дуги соизмеримой с полукоружностью.

P.S. Соизмеримость означает рациональное значение отношения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2006, 01:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Первое утверждение верно. Например, $\cos\frac{p\pi}{q}$ является корнем уравнения $T_q(x)=(-1)^p$, где $T_n(x)=\cos(n\arccos x)$ - многочлен Чебышёва (это многочлен с целыми коэффициентами!)
Второе утверждение неверно. Например, $\arcsin\frac13$ несоизмерим с $\pi$. На этот счет точно есть какие-то общие теоремы, по крайней мере, с арксинусами рациональных чисел, но это уже вопрос не ко мне.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group