О записи решений тригонометрических уравнений

[Sasha2]

Пдскажите пожалуйста, вот например возникает такая ситуация:
1) Тригонометрическое уравнение распадается на два (ну понятно, например в произведение). Ясно, что решение - это, когда один из сомножителей равен нулю. Решать то нетрудно. Но вот, что делать в том случае, если пеерчечение множеств решений по первому и сторому сомножителю не пусто.

Короче говоря, является ли ошибкой указание одного и того же решения два или более число раз?

[Brukvalub]

Будем исходить из определений: требование "решить уравнение" означает: указать все те значения входящих в уравнение неизвестных, которые обращают уравнение в верное числовое равенство. Поэтому, формально говоря, ответ, в котором пересечение множеств решений по первому и второму сомножителю не пусто, является верным. Но требования конкретного учителя или предметной комиссии по математике на вступительном экзамене в Вузе могут быть более жесткими - и с этим ничего не поделаешь, придется искать представление решения в виде непересекающихся множеств.

[Someone]

В одном из пособий для абитуриентов (к сожалению, не смог вспомнить, в каком именно) было прямо написано, что каждый корень в ответе должен присутствовать только один раз, а нарушение этого требования рассматривается как ошибка. То есть, пересекающиеся серии корней нужно "прореживать" так, чтобы каждый корень встречался только один раз, а запись решения уравнения $\cos x=-1$ в виде $x=\pm\pi+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$, является неправильной. По этому поводу, конечно, можно спорить, но абитуриенту лучше не рисковать.

[Sasha2]

Не хочу начинать нову тему, поэтому еще такой вопрос.

Мне почему то кажется, что синус и коминус любого угла соизмеримого, ну скажем с дугой равной полуокружности, является корнем некоторого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Верно ли это? А также верно ли, что любой корень алгебраического уравнения (не больший единицы) является синусом (или косинусом, что в общем то без разницы) некоторой дуги соизмеримой с полукоружностью.

P.S. Соизмеримость означает рациональное значение отношения.

[RIP]

Первое утверждение верно. Например, $\cos\frac{p\pi}{q}$ является корнем уравнения $T_q(x)=(-1)^p$, где $T_n(x)=\cos(n\arccos x)$ - многочлен Чебышёва (это многочлен с целыми коэффициентами!)
Второе утверждение неверно. Например, $\arcsin\frac13$ несоизмерим с $\pi$. На этот счет точно есть какие-то общие теоремы, по крайней мере, с арксинусами рациональных чисел, но это уже вопрос не ко мне.