Объем тела вращения

[integral2009]

Yu_K в сообщении #450662 писал(а):

Очень интересно... это $R_{OX}=1$ - а чему тогда равно $R_{OY}$? Еще немного продвинуться вперед и Вы принцип Кавальери должны открыть.

По-моему $R_{OX}=1$; $R_{OY}=3$

При вращении вокруг оси $OY$, верхняя точка $M$ (которая описывает наибольший радиус из всех точек этого тела вращения), движется по окружности с радиусом $R_{OX}=1$.

При вращении вокруг оси $OX$, верхняя точка $M$ (которая описывает наибольший радиус из всех точек этого тела вращения), движется по окружности с радиусом $R_{OY}=3$.

Значит, при вращении вокруг оси $OX$ тело вращения будет иметь больший объем!

А почему мы в случае с тором, рассматривали как движется именно центр окружности ($R=3$), а тут как верхняя точка? (я думал, что нужно рассматривать вращение центра симметрии $P$ плоской фигуры )

(Оффтоп)

$OP=R^*=\dfrac{\sqrt{1^2+3^2}}2=\dfrac{\sqrt{10}}2$

$OM=R=\sqrt{10}$

$OL=R_{OX}=1$

$OK=R_{OY}=3$

[Yu_K]

integral2009
Центр симметрии... Очень интересно... А фигура может быть не очень симметричной... Может попробовать пройти в обратную сторону посчитать объемы $V_{ox}$, $V_{oy}$ через интегралы, затем посчитать площадь петли и поделив объемы на площадь и на $2\pi$ найти значения $R_x$, $R_y$. А потом может удастся, то что получится обобщить на произвольное тело вращения.

Кстати - а что такое координаты центра тяжести плоской фигуры?

[integral2009]

Спасибо, попробую проделать сию громоздкую процедуру с помощью вольфрама)

$$\begin{cases} x=2t-t^2 \\ y=4t-t^3 \\ \end{cases}$$

Вольфрамальфа помог)

$$V_{ox} = \pi \cdot |\int\limits_{0}^2 (4t-t^3)^2 \,d(2t-t^2)|=\dfrac{32\pi}{35}$$

$$V_{oy} = \pi \cdot |\int\limits_{0}^2 (2t-t^2)^2 \,d(4t-t^3)|=\dfrac{64\pi}{105}$$

$$S_{ox} = |\int\limits_{0}^2 (4t-t^3) \,d(2t-t^2)|=\dfrac{8}{15}$$

$$S_{oy}=|\int\limits_{0}^2 (2t-t^2) \,d(4t-t^3)|=\dfrac{8}{15}$$

$$R_{ox}=\dfrac{V_{ox}}{2\pi\cdot S_{ox}}=\dfrac{32\pi}{35}\cdot \dfrac{15}{2\pi \cdot 8}=\dfrac{6}{7}$$

$$R_{oy}=\dfrac{V_{oy}}{2\pi\cdot S_{oy}}=\dfrac{64\pi}{105}\cdot \dfrac{15}{2\pi\cdot 8}=\dfrac{4}{7}$$

А почему такая формула?!$R_{ox}=\dfrac{V_{ox}}{2\pi\cdot S_{ox}}$?!
Координаты центра тяжести (а зачем они?)

$$\begin{align} x_c=\frac{\iint\limits_{G}{xdxdy}}{S} \\ y_c =\frac{\iint\limits_{G}{ydxdy}}{S} \\ \end{align}$$

[Yu_K]

integral2009
Попробуйте посчитать координаты центра тяжести внутренней части петли и сравнить с полученными значениями $R_{ox}, R_{oy}$. Два раза не было смысла считать одну ту же площадь - пусть будет для контроля - хорошо что они совпали...$S_{ox}=S_{oy}$

Цитата:

А почему такая формула?

- пока это просто формула - ее можно из формулы тора вытащить... дальше попробуем что-то обобщить...

[integral2009]

Yu_K в сообщении #451052 писал(а):

integral2009
Попробуйте посчитать координаты центра тяжести внутренней части петли и сравнить с полученными значениями $R_{ox}, R_{oy}$. Два раза не было смысла считать одну ту же площадь - пусть будет для контроля - хорошо что они совпали...$S_{ox}=S_{oy}$

Цитата:

А почему такая формула?

- пока это просто формула - ее можно из формулы тора вытащить... дальше попробуем что-то обобщить...

Получилось, что центр тяжести находится вне петли)

$x_c=\dfrac{16}{5}$

$y_c=\dfrac{1024}{105}$

[Yu_K]

Цитата:

Получилось, что центр тяжести находится вне петли

- бред какой-то у Вас получился - понимаете .

Если в декартовых (уравнение Вашей петли такое $(\frac{y}{x}-3)^2=1-x $ - тут несложные преобразования) посчитать -
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28integrate+x%5E2*2sqrt%281-x%29+dx+from+x%3D0+to+1%29%2F%28integrate+x*2sqrt%281-x%29+dx+from+x%3D0+to+1%29
то $R_{oy}=4/7$.

Можно и в параметрической форме получить интегральные выражение для координат центра тяжести.

[Yu_K]

http://mathworld.wolfram.com/PappussCen ... eorem.html - почему-то Вольфрам это считает теоремой Паппа, а вроде это называли второй теоремой Гульдена.