Теория групп. Изоморфизм

[Evervoid]

Доказать, что $U/U_n$ изоморфно U.
Здесь U- множество комплексных чисел с модулем равным 1, а $U_n$ - группа корней $n-$ной степени из 1.

-- Сб май 28, 2011 15:18:02 --

понятно что нужно использовать теоремы о гомоморфизмах но не понятно как)

[caxap]

Вам нужен гомоморфизм $f:U\to U$, образ которого совпадает с $U$, а все корни $n$-й степени из единицы (и только их) переводит в $1$. Я бы начал со второго условия.

[Evervoid]

Решил! спасибо)

[lek]

Evervoid в сообщении #451211 писал(а):

Решил!

Кстати, строить гомоморфизм в явном виде не обязательно. Множество $U$ является одномерным тором, а вместе с наследуемой операцией умножения комплексных чисел - компактной одномерной группой Ли. Других таких групп не существует. Поэтому любой нетривиальный гомоморфизм, определенный на $U$, является изоморфизмом.