Корень производный => корень первообразной

[Anexroid]

Как доказать, что число является n-кратным корнем полинома тогда и только тогда, когда оно является корнем (n-1)-ой производной?

В одну сторону доказывается элементарно. Просто представляем полином в виде
$(x - \alpha)^n * g(x)$, дифференцируем n-раз и выносим скобку $(x - \alpha)$

А вот в обратную сторону - проблема.
То, что число является корнем производной, означает, что тогда производная представима в виде

$$(x - \alpha) * g(x)$$

Если проинтегрировать - ничего хорошего не получается.

Что делать?

-- Сб май 28, 2011 04:53:14 --

Ну, вот, нам нужно доказать, что 1 является корнем тройной кратности, для многочлена

$$x^{2n} - nx^{n+1} + nx^{n-1} - 1$$

Показываю, через производную, что он является корнем второй производной. Но этого недостаточно. Нужно показать, что раз он является корнем второй производной, то он является и корнем многочлена тоже. И как это сделать?

[Someone]

Anexroid в сообщении #451021 писал(а):

Что делать?

Исправлять первоначальное утверждение. В Вашей формулировке оно неверно.

Anexroid в сообщении #451021 писал(а):

Нужно показать, что раз он является корнем второй производной, то он является и корнем многочлена тоже. И как это сделать?

Никак, поскольку это неверно.

[Anexroid]

Да вот в том то и дело, что неверно. Понять не могу как сформулировать правильно.

А если рассматривать только то дополнение, что я позже написал?

[Anexroid]

Всё, разобрался.

Доказываем, от противного, что $\alpha$ должен делить $\text{НОД}(f, f'')$ и получаем требуемое.

Тему можно закрыть.