Как доказать, что число является n-кратным корнем полинома тогда и только тогда, когда оно является корнем (n-1)-ой производной?
В одну сторону доказывается элементарно. Просто представляем полином в виде
![$(x - \alpha)^n * g(x)$ $(x - \alpha)^n * g(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/1/a9172e9a6deaa849b0bceed94a5bf34382.png)
, дифференцируем n-раз и выносим скобку
![$(x - \alpha)$ $(x - \alpha)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/e/35ecbd3f1410b6cc71be39acd6b4f4f982.png)
А вот в обратную сторону - проблема.
То, что число является корнем производной, означает, что тогда производная представима в виде
![$$(x - \alpha) * g(x)$$ $$(x - \alpha) * g(x)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/b/55b970b9e57e9ef31c50197c14720cc282.png)
Если проинтегрировать - ничего хорошего не получается.
Что делать?
-- Сб май 28, 2011 04:53:14 --Ну, вот, нам нужно доказать, что 1 является корнем тройной кратности, для многочлена
![$$x^{2n} - nx^{n+1} + nx^{n-1} - 1$$ $$x^{2n} - nx^{n+1} + nx^{n-1} - 1$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/0/d709a026ed93b4616c579261933b77c882.png)
Показываю, через производную, что он является корнем второй производной. Но этого недостаточно. Нужно показать, что раз он является корнем второй производной, то он является и корнем многочлена тоже. И как это сделать?