Уравнение a^3+2011b^3+2011c^4=d^5

[Xenia1996]

Доказать, что уравнение $a^3+2011b^3+2011c^4=d^5$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах $a, b, c, d$.

[alex1910]

Ну, например, a=b=(3^4)*(149^8)*(k^20); c=(3^3)*(149^6)*(k^15).

А в чем хорошесть этой задачи, по-моему, совершенно ни о чем?

[Xenia1996]

alex1910 в сообщении #445033 писал(а):

Ну, например, a=b=(3^4)*(149^8)*(k^20); c=(3^3)*(149^6)*(k^15).

А в чем хорошесть этой задачи, по-моему, совершенно ни о чем?

Вот мне интересно, как Вы подбирали. Почему именно 149?
Я расскажу, как я решила (кстати, очень оригинальную идею использовала). Но лишь после того, как расскажете Вы.

[alex1910]

Xenia1996 в сообщении #445034 писал(а):

alex1910 в сообщении #445033 писал(а):

Ну, например, a=b=(3^4)*(149^8)*(k^20); c=(3^3)*(149^6)*(k^15).

А в чем хорошесть этой задачи, по-моему, совершенно ни о чем?

Вот мне интересно, как Вы подбирали. Почему именно 149?
Я расскажу, как я решила (кстати, очень оригинальную идею использовала). Но лишь после того, как расскажете Вы.

Никакой оригинальности - хочется избавиться от лишних членов.
Можно сделать так, что a^3=b^3=c^4. Далее, 149 и 3 - все простые из разложения 1+2011+2011. Осталось подобрать показатели, чтобы получилась пятая степень.

[Xenia1996]

alex1910 в сообщении #445042 писал(а):

Никакой оригинальности - хочется избавиться от лишних членов.
Можно сделать так, что a^3=b^3=c^4. Далее, 149 и 3 - все простые из разложения 1+2011+2011. Осталось подобрать показатели, чтобы получилась пятая степень.

Ну вот
Я думала, я одна такая...
Я тоже "разложила" данное уравнение на $x^3+2011y^3=z^4$ (одним из бесконечных семейств решений которого является $x=y=2012^{4k+1}, z=2012^{3k+1}$) и $ z^4+2011t^4=u^5$ (одним из бесконечных семейств решений которого является $z=t=2012^{5k+1}, u=2012^{4k+1}$).

В результате вышло бесконечное семейство $a=b=2012^{20k+1}, c=2012^{15k+1}, d=2012^{12k+1}$

($k$ - ЦНЧ (целое неотрицательное число))

[age]

Решить уравнение $a^3+2011b^3+2011c^4=d^5$ при $(a,b)=1$.

[age]

age в сообщении #450234 писал(а):

Решить уравнение $a^3+2011b^3+2011c^4=d^5$ при $(a,b)=1$.

Найти все $a$ такие, что $(a^2+1)\div2011$

[nnosipov]

age в сообщении #450641 писал(а):

age в сообщении #450234 писал(а):

Решить уравнение $a^3+2011b^3+2011c^4=d^5$ при $(a,b)=1$.

Найти все $a$ такие, что $(a^2+1)\div2011$

age, лучше писать $(a^2+1)\, \vdots \,2011$. Кстати, таких $a$ нет.

[age]

nnosipov в сообщении #450661 писал(а):

Кстати, таких $a$ нет.

Да да