Степень из нулей и двоек (только что придумала)

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #449926 писал(а):

nnosipov писал(а):

Вот немного посложнее: докажите, что $n^3$ может оканчиваться любым количеством единиц.

$n^3 \equiv \frac{10^m-1}{9} \pmod{10^m} \Leftrightarrow (3n)^3 \equiv -3 \pmod{p^m}$ для $p \in \{ 2;5 \}$ - сравнения разрешимы (ну или уравнение $x^3=-3$ разрешимо в 2- и 5-адических числах - так решение для них и строится). Правильно?

Ну да, только почему Вы вместо $-1/9$ пишите $-2$? Конечно, всё дело в том, что уравнение $n^3=-1/9$ разрешимо в 2- и 5-адических числах. А, вижу, уже поправили.

[Equinoxe]

Sonic86, тогда и я вставлю своё: бесконечно ли кол-во чисел вида $2\cdot 10^k+11$, которые являются простыми? Например, 211, 2011, 20011, 2000000011, 20000000000000000011, 20000000000000000000000011, 2*10^39+11, 2*10^63+11, 2*10^133+1 …

[Sonic86]

Equinoxe писал(а):

Sonic86, тогда и я вставлю своё: бесконечно ли кол-во чисел вида $2\cdot 10^k+11$, которые являются простыми? Например, 211, 2011, 20011, 2000000011, 20000000000000000011, 20000000000000000000000011, 2*10^39+11, 2*10^63+11 …

Издеваетесь, да? Конечно же я не знаю.

[Equinoxe]

Sonic86, вот и я не знаю

[Sonic86]

Числа $\frac{10^n-1}{9}$ пытался исследовать Гаусс, числа Мерсенна, Ферма Вам известны. Для них по-прежнему ничего не известно.

[nnosipov]

Некоторое утешение может принести тот факт, что числа вида $2 \cdot 10^k+11$ могут делиться на сколь угодно большие простые числа.

[Naf2000]

$1942^3 = 7323988888$

-- Ср май 25, 2011 11:41:11 --

$999999999999^5 = 999 999 999 995 000 000 000 009 999 999 999 990 000 000 000 004 999 999 999 999$

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #449925 писал(а):

Между прочим, я ошибся: $n^m$, где $m>2$ --- нечётно и фиксировано, может оканчиваться любым количеством одинаковых цифр (т.е. на putnam задача могла быть только для квадратов).

Вы совершенно правы, я тоже перепутала: http://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol703.html

[maxal]

Equinoxe в сообщении #449932 писал(а):

Sonic86, тогда и я вставлю своё: бесконечно ли кол-во чисел вида $2\cdot 10^k+11$, которые являются простыми? Например, 211, 2011, 20011, 2000000011, 20000000000000000011, 20000000000000000000000011, 2*10^39+11, 2*10^63+11, 2*10^133+1 …

Известные значения $k$ - в последовательности A086865.