2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Степень из нулей и двоек (только что придумала)
Сообщение24.05.2011, 20:20 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Может ли натуральное число, в десятичной записи которого участвуют только цифры 0 и 2, быть степенью натурального числа (с натуральным показателем $m>1$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень из нулей и двоек (только что придумала)
Сообщение24.05.2011, 20:34 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Да не может, наверное. Опять какие-нибудь остатки смотреть. Хотя нет, всё проще, ведь оно делится на 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень из нулей и двоек (только что придумала)
Сообщение24.05.2011, 20:35 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
Степень двойки на 1 больше, чем пятёрки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень из нулей и двоек (только что придумала)
Сообщение24.05.2011, 20:38 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
nnosipov в сообщении #449778 писал(а):
Да не может, наверное. Опять какие-нибудь остатки смотреть. Хотя нет, всё проще, ведь оно делится на 2.

И что с того, что на 2 делится?
Много нулей на конце обусловливают создают предпосылки для делимости на любую наперёд заданную степень двойки.

-- Вт май 24, 2011 20:40:08 --

venco в сообщении #449779 писал(а):
Степень двойки на 1 больше, чем пятёрки.

О!
:appl: :libmexmat:

(Оффтоп)

Я сегодня сама до этого додумалась, и решила оформить в виде задачи. Но сложной задачи не получилось. Быстро раскусили :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень из нулей и двоек (только что придумала)
Сообщение24.05.2011, 20:41 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
Можно ещё цифру 6 добавить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень из нулей и двоек (только что придумала)
Сообщение24.05.2011, 20:42 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Xenia1996 в сообщении #449782 писал(а):
nnosipov в сообщении #449778 писал(а):
Да не может, наверное. Опять какие-нибудь остатки смотреть. Хотя нет, всё проще, ведь оно делится на 2.

И что с того, что на 2 делится?
Много нулей на конце обусловливают создают предпосылки для делимости на любую наперёд заданную степень двойки.

-- Вт май 24, 2011 20:40:08 --

venco в сообщении #449779 писал(а):
Степень двойки на 1 больше, чем пятёрки.

О!
:appl: :libmexmat:

(Оффтоп)

Я сегодня сама до этого додумалась, и решила оформить в виде задачи. Но сложной задачи не получилось. Быстро раскусили :-(

Примерно за полминуты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень из нулей и двоек (только что придумала)
Сообщение24.05.2011, 20:45 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
venco в сообщении #449784 писал(а):
Можно ещё цифру 6 добавить.

Ага, теперь вижу. Спасибо!
Из нулей, двоек и шестёрок степень бывает лишь первая :D

-- Вт май 24, 2011 21:18:32 --

venco в сообщении #449784 писал(а):
Можно ещё цифру 6 добавить.

Предлагаю оформить так:

$n$ и $m>1$ - натуральные числа. Доказать, что в десятичной записи числа $n^m$ найдётся хотя бы одна цифра, отличная от 0, 2 и 6.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень из нулей и двоек (только что придумала)
Сообщение24.05.2011, 21:41 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
А вот такая задачка: как много одинаковых ненулевых цифр может быть в конце числа $n^m$, где $m>1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень из нулей и двоек (только что придумала)
Сообщение24.05.2011, 21:43 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
nnosipov в сообщении #449823 писал(а):
А вот такая задачка: как много одинаковых ненулевых цифр может быть в конце числа $n^m$, где $m>1$?

3 цифры.
Например, $1444=38^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень из нулей и двоек (только что придумала)
Сообщение24.05.2011, 21:44 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
А почему больше нельзя?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень из нулей и двоек (только что придумала)
Сообщение24.05.2011, 21:47 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
nnosipov в сообщении #449826 писал(а):
А почему больше нельзя?

Если я напишу, это будет не совсем честно, ибо с задачей сей я знакома уже довольно давно (она с Патнэма).
Пусть решат те, для кого она новая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень из нулей и двоек (только что придумала)
Сообщение24.05.2011, 21:56 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Xenia1996 в сообщении #449829 писал(а):
Если я напишу, это будет не совсем честно, ибо с задачей сей я знакома уже довольно давно (она с Патнэма).

Забавно, эта задача была в этом году у нас на районной олимпиаде, но, правда, только для квадратов (это я сейчас просто не смог правильно вспомнить условие :D).

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень из нулей и двоек (только что придумала)
Сообщение24.05.2011, 22:05 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
nnosipov в сообщении #449833 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #449829 писал(а):
Если я напишу, это будет не совсем честно, ибо с задачей сей я знакома уже довольно давно (она с Патнэма).

Забавно, эта задача была в этом году у нас на районной олимпиаде, но, правда, только для квадратов (это я сейчас просто не смог правильно вспомнить условие :D).

(Оффтоп)

Все Патнэмы, которые можно решить а рамках школьной программы, я уже давно перерешала :lol1: А то, что российская районка сложнее Патнэма, следует из тезиса советских времён, утверждавшего, что
Цитата:
Советский рабочий умнее буржуазного инженера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень из нулей и двоек (только что придумала)
Сообщение25.05.2011, 08:02 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Между прочим, я ошибся: $n^m$, где $m>2$ --- нечётно и фиксировано, может оканчиваться любым количеством одинаковых цифр (т.е. на putnam задача могла быть только для квадратов). Но это просто. Вот немного посложнее: докажите, что $n^3$ может оканчиваться любым количеством единиц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень из нулей и двоек (только что придумала)
Сообщение25.05.2011, 08:13 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
nnosipov писал(а):
Вот немного посложнее: докажите, что $n^3$ может оканчиваться любым количеством единиц.

$n^3 \equiv \frac{10^m-1}{9} \pmod{10^m} \Leftrightarrow (3n)^3 \equiv -3 \pmod{p^m}$ для $p \in \{ 2;5 \}$ - сравнения разрешимы (ну или уравнение $x^3=-3$ разрешимо в 2- и 5-адических числах - так решение для них и строится). Правильно? :roll:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group