Степень из нулей и двоек (только что придумала)

[Xenia1996]

Может ли натуральное число, в десятичной записи которого участвуют только цифры 0 и 2, быть степенью натурального числа (с натуральным показателем $m>1$)?

[nnosipov]

Да не может, наверное. Опять какие-нибудь остатки смотреть. Хотя нет, всё проще, ведь оно делится на 2.

[venco]

Степень двойки на 1 больше, чем пятёрки.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #449778 писал(а):

Да не может, наверное. Опять какие-нибудь остатки смотреть. Хотя нет, всё проще, ведь оно делится на 2.

И что с того, что на 2 делится?
Много нулей на конце обусловливают создают предпосылки для делимости на любую наперёд заданную степень двойки.

-- Вт май 24, 2011 20:40:08 --

venco в сообщении #449779 писал(а):

Степень двойки на 1 больше, чем пятёрки.

О!

(Оффтоп)

Я сегодня сама до этого додумалась, и решила оформить в виде задачи. Но сложной задачи не получилось. Быстро раскусили

[venco]

Можно ещё цифру 6 добавить.

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #449782 писал(а):

nnosipov в сообщении #449778 писал(а):

Да не может, наверное. Опять какие-нибудь остатки смотреть. Хотя нет, всё проще, ведь оно делится на 2.

И что с того, что на 2 делится?
Много нулей на конце обусловливают создают предпосылки для делимости на любую наперёд заданную степень двойки.

-- Вт май 24, 2011 20:40:08 --

venco в сообщении #449779 писал(а):

Степень двойки на 1 больше, чем пятёрки.

О!

(Оффтоп)

Я сегодня сама до этого додумалась, и решила оформить в виде задачи. Но сложной задачи не получилось. Быстро раскусили

Примерно за полминуты.

[Xenia1996]

venco в сообщении #449784 писал(а):

Можно ещё цифру 6 добавить.

Ага, теперь вижу. Спасибо!
Из нулей, двоек и шестёрок степень бывает лишь первая

-- Вт май 24, 2011 21:18:32 --

venco в сообщении #449784 писал(а):

Можно ещё цифру 6 добавить.

Предлагаю оформить так:

$n$ и $m>1$ - натуральные числа. Доказать, что в десятичной записи числа $n^m$ найдётся хотя бы одна цифра, отличная от 0, 2 и 6.

[nnosipov]

А вот такая задачка: как много одинаковых ненулевых цифр может быть в конце числа $n^m$, где $m>1$?

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #449823 писал(а):

А вот такая задачка: как много одинаковых ненулевых цифр может быть в конце числа $n^m$, где $m>1$?

3 цифры.
Например, $1444=38^2$

[nnosipov]

А почему больше нельзя?

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #449826 писал(а):

А почему больше нельзя?

Если я напишу, это будет не совсем честно, ибо с задачей сей я знакома уже довольно давно (она с Патнэма).
Пусть решат те, для кого она новая.

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #449829 писал(а):

Если я напишу, это будет не совсем честно, ибо с задачей сей я знакома уже довольно давно (она с Патнэма).

Забавно, эта задача была в этом году у нас на районной олимпиаде, но, правда, только для квадратов (это я сейчас просто не смог правильно вспомнить условие ).

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #449833 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #449829 писал(а):

Если я напишу, это будет не совсем честно, ибо с задачей сей я знакома уже довольно давно (она с Патнэма).

Забавно, эта задача была в этом году у нас на районной олимпиаде, но, правда, только для квадратов (это я сейчас просто не смог правильно вспомнить условие ).

(Оффтоп)

Все Патнэмы, которые можно решить а рамках школьной программы, я уже давно перерешала А то, что российская районка сложнее Патнэма, следует из тезиса советских времён, утверждавшего, что

Цитата:

Советский рабочий умнее буржуазного инженера.

[nnosipov]

Между прочим, я ошибся: $n^m$, где $m>2$ --- нечётно и фиксировано, может оканчиваться любым количеством одинаковых цифр (т.е. на putnam задача могла быть только для квадратов). Но это просто. Вот немного посложнее: докажите, что $n^3$ может оканчиваться любым количеством единиц.

[Sonic86]

nnosipov писал(а):

Вот немного посложнее: докажите, что $n^3$ может оканчиваться любым количеством единиц.

$n^3 \equiv \frac{10^m-1}{9} \pmod{10^m} \Leftrightarrow (3n)^3 \equiv -3 \pmod{p^m}$ для $p \in \{ 2;5 \}$ - сравнения разрешимы (ну или уравнение $x^3=-3$ разрешимо в 2- и 5-адических числах - так решение для них и строится). Правильно?