Погружение теории в метатеорию

[Профессор Снэйп]

Kallikanzarid в сообщении #449426 писал(а):

Ответ на задачу (2) - ноль. Пусть $p$ и $q$ - простые, $p \neq q$. При этом так как необходимо $\varphi(1) = 0$, то $\varphi(p) \neq 0,\ \varphi(q) \neq 0$. Тогда $\varphi(p^{\varphi(q)} q^{\varphi(p)}) = 2 \varphi(p) \varphi(q) = \varphi(p^{2 \varphi(q)})$, следовательно $p^{\varphi(q)} q^{\varphi(p)} = p^{2 \varphi(q)}$, что противоречит основной теореме арифметики.

Ога, оно. Только странно, что Вы произведения рассматриваете.

Пусть $\varphi(2) = a$ и $\varphi(3) = b$. Тогда $\varphi(2^b) = \varphi(3^a) = ab$, $2^b = 3^a$, $a = b = 0$ и $\varphi(2) = \varphi(3)$.

Не знаю, может и надумано, но мне кажется, что когда мы возводим аргументы в степени, равные значениям на других аргументах, мы выходим за рамки теории. Была бы задача про произвольные абелевы группы, финт ушами уже бы не прошёл. А тут значения --- элементы алгебраической системы $\langle \mathbb{N}, + \rangle$, казалось бы, что поделаешь, но можно вспомнить, что носитель у этой системы --- натуральные числа, ими можно считать "ноль-один-два-три..., и вот поскольку $\varphi(3)$ можно рассматривать как количество разов, мы именно это количество раз двойку на себя и умножим. Почти как в теореме Гёделя: есть логическое исчисление --- вещь в себе, у его объектов-формул есть номера, которые, как натуральные числа, можно поскладывать-поумножать, и получить номер результата логической операции над формулами.

Да уж, богата и хитра природа натуральных чисел!!!

[Kallikanzarid]

Профессор Снэйп в сообщении #449432 писал(а):

Не знаю, может и надумано, но мне кажется, что когда мы возводим аргументы в степени, равные значениям на других аргументах, мы выходим за рамки теории.

Стоит учесть, что у нас заданы не только два моноида, но и (подпольно!) действие одного на другом эндоморфизмами.

-- Вт май 24, 2011 03:33:41 --

Вот что меня действительно смущает, так это то, что при требовании сохранения этого действия у нас в любом случае остается только $\phi \equiv 0$, так что ИМХО тут закралась ошибка.

[Профессор Снэйп]

Kallikanzarid в сообщении #449439 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #449432 писал(а):

Не знаю, может и надумано, но мне кажется, что когда мы возводим аргументы в степени, равные значениям на других аргументах, мы выходим за рамки теории.

Стоит учесть, что у нас заданы не только два моноида, но и (подпольно!) действие одного на другом эндоморфизмами.

Ну да, заданы действия. А могли бы быть и не заданы. Всякая абелева группа --- модуль над $\mathbb{Z}$, всякий коммутативный моноид --- "модуль" (или не модуль, не знаю, как правильно называется) над натуральными числами. Но тут, заметьте, ещё и сами моноиды из натуральных чисел состоят. И мы берём значение гомоморфизма, а потом обнаруживаем, что им можно подействовать на один из аргументов, и действуем! В одном случае число --- один из элементов "моноида", в другом --- элемент "внешнего", и к счастью оказывается, что эти два класса объектов просто совпадают. Мы же умножение определяем рекурсией через сложение, а возведение в степень (которое уже становится некоммутативным и не ассоциативным) --- рекурсией через умножение.

Короче, натуральные числа содержат внутри себя всё на свете, вот что удивительно! Интересно, можно там дальше подобные гомоморфизмы, понижающие уровень операции, через функцию Аккермана накрутить. Вряд ли что-то нетривиальное будет, начиная с возведения в степень операции ведут себя как попало.

Кстати... Рассмотрим группоид $\langle \mathbb{N}, \# \rangle$, где $x \mathop{\#} y = x^{x^{\ldots x}}$ --- тетрация, то есть возведение в степень $y$ раз. Что это за структура, какие у неё свойства и т. п.?

Kallikanzarid в сообщении #449439 писал(а):

[
Вот что меня действительно смущает, так это то, что при требовании сохранения этого действия у нас в любом случае остается только $\phi \equiv 0$, так что ИМХО тут закралась ошибка.

Нету там нигде ошибки. Мы же из того моноида, который мультипликативный, ноль выкидываем. Если ноль оставить, то конечно, единственное нулевое отображение и получится, никакого континуума даже близко не будет.

[Kallikanzarid]

Профессор Снэйп в сообщении #449450 писал(а):

Нету там нигде ошибки.

Да, вы правы.

Профессор Снэйп в сообщении #449450 писал(а):

Ну да, заданы действия. А могли бы быть и не заданы. Всякая абелева группа --- модуль над $\mathbb{Z}$, всякий коммутативный моноид --- "модуль" (или не модуль, не знаю, как правильно называется) над натуральными числами. Но тут, заметьте, ещё и сами моноиды из натуральных чисел состоят. И мы берём значение гомоморфизма, а потом обнаруживаем, что им можно подействовать на один из аргументов, и действуем! В одном случае число --- один из элементов "моноида", в другом --- элемент "внешнего", и к счастью оказывается, что эти два класса объектов просто совпадают. Мы же умножение определяем рекурсией через сложение, а возведение в степень (которое уже становится некоммутативным и не ассоциативным) --- рекурсией через умножение.

Короче, натуральные числа содержат внутри себя всё на свете, вот что удивительно! Интересно, можно там дальше подобные гомоморфизмы, понижающие уровень операции, через функцию Аккермана накрутить. Вряд ли что-то нетривиальное будет, начиная с возведения в степень операции ведут себя как попало.

Посмотрим: пусть $M$ - моноид, $f: M \to \mathbb{N}$ - моно. Тогда как выше показываем, что для любых $p, q \in M$ выполняется равенство $p^{f(q)} = q^{f(p)}$. В случае моноида $\mathbb{N}_+$ имеем противоречие с основной теоремой арифметики, но для произвольного моноида такое противоречие неочевидно (во всяком случае, для тривиального моноида его точно нет :)). Значит, ключевую роль сыглало не действие $\mathbb{N}$ (которое, как вы справедливо отметили, определено для каждого моноида), а теоретико-числовые свойства $\mathbb{N}_+$. Я сомневаюсь, что про натуральные числа из этого можно сделать далеко идущие выводы, но сама лемма заслуженно отправляется в мою копилку знаний :)

-- Вт май 24, 2011 14:48:09 --

Профессор Снэйп в сообщении #449450 писал(а):

Рассмотрим группоид $\langle \mathbb{N}, \# \rangle$, где $x \mathop{\#} y = x^{x^{\ldots x}}$ --- тетрация

Для группоида нужно еще определить операцию обращения. Когда определим, можно будет сказать о мощности множества объектов и посмотреть на вертексные группы :)

[BapuK]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #449417 писал(а):

P. S. Где-то, кстати, тема была про $\aleph_1$: например, можно доказать, что существует ровно $\aleph_1$ типов изоморфизма счётных суператомных булевых алгебр. Вроде даже две темы было.

одна из них: topic41011.html