Задача на унитарные операторы

[white pushok]

Формулировка: доказать, что множество унитарных операторов замкнуто по норме.
Плохо представляю себе это множество, поэтому непонятно, как доказывать его замкнутость. Нужно ли использовать факт, что собственные числа лежат на единичной окружности?

[мат-ламер]

white pushok в сообщении #449340 писал(а):

Формулировка: доказать, что множество унитарных операторов замкнуто по норме.

Не понял. Может имеется в виду замкнутость в операторной топологии? Может использовать тот факт, что отображение, ставящее оператору в соответствиее его норму, непрерывно?

[white pushok]

Ну вот формулировка такая, так что скорее всего. Как это использовать, интересно? При помощи какого признака вы хотите показать замкнутость?

[мат-ламер]

Надо посмотреть, какая вообще может быть норма у унитарного оператора.

[ewert]

white pushok в сообщении #449340 писал(а):

Нужно ли использовать факт, что собственные числа лежат на единичной окружности?

Это ничего не даст.

Тут ещё существенно, из какого варианта определения предлагается исходить. А их минимум три (или два с половиной): это те, для кого обратный совпадает с сопряжённым; или те, кто сохраняет все скалярные произведения; или те, кто сохраняет все нормы. Из последнего, наверное, проще всего: докажите, что любой предельный оператор тоже обладает этим свойством.

[white pushok]

Нам давали такое определение: оператор унитарен, если он биективно отображает Х на Х и сохраняет скалярное произведение.
И эквивалентное ему: обратный оператор совпадает с сопряженным или произведение оператора и сопряженного ему перестановочно и равно тождественному.

Можно ли проверить, что, если $U_n -> U$, то и $U_n^-1 -> U^-1$ & $U_n^* -> U^*$ ?

или же оценить две нормы: $||U_n^*U_n - U^*U||->0$ & $||U_nU_n^* - UU^*||->0$

[ewert]

Всё можно. Но гораздо проще склеить два факта, которые должны быть Вам известны:

1) что из сходимости по операторной норме следует сильная сходимость, т.е. сходимость на каждом элементе; и

2) что скалярное произведение непрерывно по своим сомножителям: если каждый из сомножителей есть член некоторой сходящейся последовательности, то предел скалярных произведений есть скалярное произведение пределов.

На выходе получится: если каждый член операторной последовательности сохраняет некоторое скалярное произведение, то это произведение сохраняется и предельным оператором.

Но вообще-то очень полезно знать, что сохранение любого скалярного произведения равносильно сохранению любой нормы. Это упрощает второй пункт.

[white pushok]

Цитата:

1) что из сходимости по операторной норме следует сильная сходимость, т.е. сходимость на каждом элементе;

ну вроде бы это и есть то, чем я хотел воспользоваться: оценка модуля разности.

я, конечно, ламер в функане, но сохранения скалярного произведения же недостаточно: должна быть биекция. тривиальный контрпример неунитарного оператора, сохраняющего скал. произведение - сдвиг последовательности вправо.

а достаточно условия: $UU^*=U^*U=Id$. так вот, для этого я и написал оценки $||U_n^*U_n - U^*U||->0$ и $||U_nU_n^* - UU^*||->0$. Согласитесь, что если это докажем, то будет доказана и задача. Но при оценке возникает проблема: является ли унитарный оператор и сопряженный ему ограниченным? если да, то всё будет в порядке.

[ewert]

white pushok в сообщении #449643 писал(а):

но сохранения скалярного произведения же недостаточно:

Это да, это я действительно обманул. Собственно, нужно, чтобы образ предельного оператора совпадал со всем пространством. Это при любом варианте доказательства действительно некоторая проблема.

Можно, например, так. Норма сопряжённого оператора совпадает с нормой исходного, поэтому $\|A^*_n-A^*\|\to0$ (обратите, кстати, внимание на кодирование формул). И, как следствие, $A^*_nx\to A^*x\ (\forall x)$. Поскольку $A^*_n$ не меняет норму (он, как и сам $A_n$, унитарен), отсюда $A^*x\neq0\ (\forall x\neq0)$, т.е. ядро $A^*$ тривиально. Но ядро сопряжённого -- это ортогональное дополнение к образу исходного, т.е. образ $A$ плотен во всём пространстве. И, значит, совпадает с ним: из изометричности $A$ уж всяко следует замкнутость его образа.

Чего-то я ничего существенно более простого не вижу. Например, сходимость обратных к обратному предельного -- вопрос существенно более деликатный.