но сохранения скалярного произведения же недостаточно:
Это да, это я действительно обманул. Собственно, нужно, чтобы образ предельного оператора совпадал со всем пространством. Это при любом варианте доказательства действительно некоторая проблема.
Можно, например, так. Норма сопряжённого оператора совпадает с нормой исходного, поэтому

(обратите, кстати, внимание на кодирование формул). И, как следствие,

. Поскольку

не меняет норму (он, как и сам

, унитарен), отсюда

, т.е. ядро

тривиально. Но ядро сопряжённого -- это ортогональное дополнение к образу исходного, т.е. образ

плотен во всём пространстве. И, значит, совпадает с ним: из изометричности

уж всяко следует замкнутость его образа.
Чего-то я ничего существенно более простого не вижу. Например, сходимость обратных к обратному предельного -- вопрос существенно более деликатный.