Мн-во X как замыкание своего подмн-ва Y для ф-ции f.

[Виктор Викторов]

Рассмотрим функцию $f$ и множество $X{.}$ Множество $X$ называется замкнутым для функции $f{,}$ если те элементы множества $X{,}$ которые являются элементами области определения функции $f$ имеют значения в $X{.}$
Теперь рассмотрим подмножество $Y$ множества $X$ замкнутого для функции $f{.}$ Если каждый элемент множества $X\setminus Y$ имеет хотя бы один прообраз в $Y{,}$ то множество $X$ называется замыканием множества $Y$ для функции $f{.}$ Как следствие вылезает, что, если множество $X$ замыкание подмножества $Y$ для функции $f{,}$ то каждое множество $Z{,}$ содержащее $Y$ и замкнутое для $f{,}$ содержит $X{.}$ Т. е. $X$ -- наименьшее замкнутое для $f$ множество, содержащее $Y{.}$
Где про эту конструкцию можно прочитать на русском языке?

[beroal]

Терминология у вас IMHO неудачная. Если брать известный мне смысл «замыкания», то $x\in X$ iff $x$ может быть получен путём применения $f$ конечное число раз к некоторому элементу множества $X$. Ваше определение больше похоже на объединение $X$ и образа $X$, то есть применять $f$ можно $\leq 1$ раз. Предлагаю писать определения формально, а то для меня это слишком расплывчато.

Аксиоматизация понятия замыкания называется poset closure operator=hull operator. Извините, не знаю русского перевода. Для poset closure operator есть аналог вашей теоремы.

Возможно, вам подойдёт poset closure operator без аксиомы идемпотентности, тогда это будет preclosure operator.

[Виктор Викторов]

Терминология не моя, а Wilfrid Hodges в книге «HANDBOOK OF PHILOSOPHICAL LOGIC» Volume I edited by D. GABBAY страница 113. Я ищу где это расписано по-русски.

[beroal]

Я полагаю, вам стоит дать больше контекста. Связь ваших выкладок с логикой предикатов неясна.

[beroal]

Это я напутал. Определение Wilfrid Hodges-а = замыкание по алгебраическим операциям, частный случай poset closure operator-а. Подробности надо искать в книгах по универсальной алгебре. Если найду на русском, напишу.

[beroal]

Кон. Универсальная алгебра. II. Алгебры. 1. Системы замыканий. С.55.

[Виктор Викторов]

Спасибо. Я посмотрел Кона. Это в общем смысле, конечно, то что надо. Но, я хочу найти текст именно о множестве как о замыкании его подмножества для функции. Это путь к индуктивному определению. А разобранный пример индуктивного определения (вы догадались!) определение терма.

(Оффтоп)

Я долго не мог ответить, т. к. не могу выпустить из зубов Мендельсона.