Магнитный момент

[Евгеша]

Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, задачу.

Условие:
Однородный немагнитный прямой круговой усеченный конус высоты $h$ и радиусами оснований $a$ и $b$ ($a<b$), равномерно заряженный по объему, вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси симметрии. Полный заряд конуса $q$. Определить магнитный момент конуса.

Решение:
Магнитный момент определяется по формуле:

$$\vec m=\frac{1}{2c}\int\limits_V (\vec r\times \vec j) \, dV$$

где $\vec j$ - плотность эл. тока, $c$ - константа.
Введем декартову систему координат, такую что ось $Z$ направлена вдоль оси вращения конуса, и цилиндрическую, совмещенную с декартовой. Тогда:

$\vec \omega=\omega\vec k$
$\vec r=\rho \cos{\varphi}\vec i+\rho \sin{\varphi}\vec j+z\vec k$

$\vec j=\rho_e \vec{\mathit{v}}=\rho_e (\vec \omega\times \vec r)$
где $\rho_e$ - плотность заряда, $\vec{\mathit{v}}$ - скорость точки конуса.

$$\vec m=\frac{\rho_e}{2c}\int\limits_V (\vec \omega\cdot r^2-(\vec \omega\cdot \vec r) \vec r\, dV=\frac{\rho_e}{2c}\int\limits_V (\omega r^2\vec k-\omega z \vec r)\, dV$$

$\rho_e=\frac{q}{V}=\frac{3q}{\pi h(b^2+ab+a^2)}$

Из соображений симметрии $m_x=m_y=0$.

$$m_z=\frac{\rho_e}{2c}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{h}\int\limits_{0}^{x} (\omega (\rho^2+z^2)-\omega z^2)\rho \, d\rho \, dz \, d\varphi=\frac{\pi\omega\rho_e}{c}\int\limits_{0}^{h}\, dz\int\limits_{0}^{x} \rho^3 \, d\rho \, d\varphi=\frac{\pi\omega\rho_e}{4c}\int\limits_{0}^{h} x^4 \, dz=$$

$$=\frac{\pi\omega\rho_e}{4c}\int\limits_{0}^{h} (\frac{b-a}{h} (h-z))^4 \, dz =\frac{3\omega q(b-a)^4}{20c(b^2+ab+a^2)}$$

[Евгеша]

Может кому-то эта задача встречалась в каком-нибудь задачнике? Мне бы хотя бы ответ сверить.

[myhand]

Евгеша в сообщении #449222 писал(а):

Мне бы хотя бы ответ сверить.

А зачем? Интегрировать не умеете - проверяйте на компьютере, на худой конец? Это задача на определения и тривиальную математику.

Евгеша в сообщении #449063 писал(а):

$$m_z=\frac{3\omega q(b-a)^4}{20c(b^2+ab+a^2)}$$

Сумлеваюсь я. Ну, положим $a=b$. Так таки и нуль получится? А от высоты тоже ничего не зависит?

[obar]

Почему $x=\frac{b-a}{h}(h-z)$? На сколько я понял условие $x=\frac{b-a}{h}(h-z)+a$.

[Евгеша]

myhand
Ну, например, у цилиндра момент от высоты не зависит.

obar
Это я из подобия вывел. $x$ - радиус сечения на высоте $z$.

[obar]

Ну так неправильно вывели. При $z=h$ $x=0$, а при $z=0$ $x=b-a$??

[Евгеша]

Действительно. Вот я балда. Спасибо, что сказали!