2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Магнитный момент
Сообщение23.05.2011, 01:21 
Аватара пользователя


22/06/07
146
Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, задачу.

Условие:
Однородный немагнитный прямой круговой усеченный конус высоты $h$ и радиусами оснований $a$ и $b$ ($a<b$), равномерно заряженный по объему, вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси симметрии. Полный заряд конуса $q$. Определить магнитный момент конуса.

Решение:
Магнитный момент определяется по формуле:
$$\vec m=\frac{1}{2c}\int\limits_V (\vec r\times \vec j) \, dV$$
где $\vec j$ - плотность эл. тока, $c$ - константа.
Введем декартову систему координат, такую что ось $Z$ направлена вдоль оси вращения конуса, и цилиндрическую, совмещенную с декартовой. Тогда:

$\vec \omega=\omega\vec k$
$\vec r=\rho \cos{\varphi}\vec i+\rho \sin{\varphi}\vec j+z\vec k$

$\vec j=\rho_e \vec{\mathit{v}}=\rho_e (\vec \omega\times \vec r)$
где $\rho_e$ - плотность заряда, $\vec{\mathit{v}}$ - скорость точки конуса.
$$\vec m=\frac{\rho_e}{2c}\int\limits_V (\vec \omega\cdot r^2-(\vec \omega\cdot \vec r) \vec r\, dV=\frac{\rho_e}{2c}\int\limits_V (\omega r^2\vec k-\omega z \vec r)\, dV$$
$\rho_e=\frac{q}{V}=\frac{3q}{\pi h(b^2+ab+a^2)}$

Из соображений симметрии $m_x=m_y=0$.
$$m_z=\frac{\rho_e}{2c}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{h}\int\limits_{0}^{x} (\omega (\rho^2+z^2)-\omega z^2)\rho  \, d\rho \, dz \, d\varphi=\frac{\pi\omega\rho_e}{c}\int\limits_{0}^{h}\, dz\int\limits_{0}^{x} \rho^3 \, d\rho  \, d\varphi=\frac{\pi\omega\rho_e}{4c}\int\limits_{0}^{h} x^4 \, dz=$$
$$=\frac{\pi\omega\rho_e}{4c}\int\limits_{0}^{h} (\frac{b-a}{h} (h-z))^4 \, dz =\frac{3\omega q(b-a)^4}{20c(b^2+ab+a^2)}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитный момент
Сообщение23.05.2011, 16:00 
Аватара пользователя


22/06/07
146
Может кому-то эта задача встречалась в каком-нибудь задачнике? Мне бы хотя бы ответ сверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитный момент
Сообщение23.05.2011, 17:47 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Евгеша в сообщении #449222 писал(а):
Мне бы хотя бы ответ сверить.
А зачем? Интегрировать не умеете - проверяйте на компьютере, на худой конец? Это задача на определения и тривиальную математику.

Евгеша в сообщении #449063 писал(а):
$$m_z=\frac{3\omega q(b-a)^4}{20c(b^2+ab+a^2)}$$
Сумлеваюсь я. Ну, положим $a=b$. Так таки и нуль получится? А от высоты тоже ничего не зависит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитный момент
Сообщение23.05.2011, 18:02 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Почему $x=\frac{b-a}{h}(h-z)$? На сколько я понял условие $x=\frac{b-a}{h}(h-z)+a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитный момент
Сообщение23.05.2011, 18:04 
Аватара пользователя


22/06/07
146
myhand
Ну, например, у цилиндра момент от высоты не зависит.

obar
Это я из подобия вывел. $x$ - радиус сечения на высоте $z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитный момент
Сообщение23.05.2011, 18:37 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Ну так неправильно вывели. При $z=h$ $x=0$, а при $z=0$ $x=b-a$??

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитный момент
Сообщение24.05.2011, 01:18 
Аватара пользователя


22/06/07
146
Действительно. Вот я балда. Спасибо, что сказали!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group