исследовать функцию на экстремум

[all]

$\[z = 5x^2 - 3xy + y^2 + 4\]$;
$x=0$; $y=0$; $x+y=2$
Вот мое решение:
Найдем стационарные точки:
$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \frac{{dz}} {{dx}} = 10x - 3y \hfill \\ \frac{{dz}} {{dy}} = - 3x + 2y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 10x - 3y = 0 \hfill \\ - 3x + 2y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 20x - 6y = 0 \hfill \\ - 9x + 6y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow 20x - 9x = 0 \Leftrightarrow 11x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \hfill \\ \end{gathered}$ и y=o

Только теперь я не могу понять что делать нужно..
И зачем тогда вот это условие: x+y=2
Помогите разобраться, пожалуйста.
Заранее благодарю.

[Yu_K]

post369424.html?hilit=#p369424 посмотрите здесь. Видимо Вам нужно найти экстремум в области ограниченной заданными прямыми.

[мат-ламер]

all в сообщении #448350 писал(а):

$\[z = 5x^2 - 3xy + y^2 + 4\]$; x=0; y=0; x+y=2

А есть ли допустимые точки?

[all]

x=0 и y=0

[мат-ламер]

Проверьте, правильно ли переписали условие.

[all]

В том то и дело, что задание так написано.. Опечатка наверное..

[gris]

А что такого? Поверхность хорошая и один экстремум сразу виден. А второй тоже без особых хлопот находится.
Что по целому треугольнику, что только по границе.

[all]

Пытаюсь другой вариант решить - тоже не понимаю что делать..
$z = x^2 + 2y^2 + 4$; $x^2 + y^2 = 1$
Это с помощью Лагранжа нужно делать?
Хотя задание звучит так: Функция для исследование на экстремум.

[gris]

Это уже с помощью Лагранжа. Условный экстремум.

[all]

Спасибо:)

[all]

$z = x^2 + 2y^2 + 4$; $x^2 + y^2 = 1$

Найдем точки экстремумы функции:
$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \frac{{\partial z}} {{dx}} = 2x \hfill \\ \frac{{\partial z}} {{dy}} = 4y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 0;y = 0 \hfill \\ \hfill \\ M\left( {0;0} \right) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \frac{{\partial ^2 z}} {{dx^2 }} = 2 \hfill \\ \frac{{\partial ^2 z}} {{dy^2 }} = 4 \hfill \\ \frac{{\partial ^2 z}} {{dxy}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ D = AC - B^2 = 2 \cdot 4 - 0 = 8 > 0 \hfill \\ A > 0 \hfill \\ \end{gathered} $

Следовательно, точка М(0;0) минимума.

$\begin{gathered} L = x^2 + 2y^2 + 4 + \lambda f = x^2 + 2y^2 + 4 + \lambda \left( {x^2 + y^2 - 1} \right) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \frac{{\partial L}} {{\partial x}} = 2x + 2\lambda x \hfill \\ \frac{{\partial L}} {{\partial y}} = 4y + 2\lambda y \hfill \\ \frac{{\partial L}} {{\partial xy}} = x^2 + y^2 - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 2x + 2\lambda x = 0 \hfill \\ 4y + 2\lambda y = 0 \hfill \\ x^2 + y^2 - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $

И вот тупик какой-то.. Что не так я делаю..?

[мат-ламер]

Интересно, что экстремум достигается на собственных векторах матрицы квадратичной формы.

[all]

И такое может быть?..Просто обычно такие задания типовые и я их быстро решаю, а здесь..

[gris]

Искать особые точки самой функции ни к чему. Ваша точка не принадлежит окружности, описываемой уравнением связи.

А вот последняя система имеет 4 решения.
Чего Вы испугались? Разложите первые два на множители.
Вот одно:
$x=0; y=1; \lambda=-2$
Нам нужны только икс и игрек.

Вообще полезно и представить то, что Вы ищете. В пересечении параболоида и цилиндра — некая кривая, похожая на изогнутую окружность. Нам нужно найти максимальные и минимальные по зед точки на этой кривой.

[all]

Я что-то не пойму - как Вы нашли эти значения.
Как последнюю мою систему решить, если 3 переменных. Обычно я просто от λ избавлялась, домножая на одно число и вычитая. А здесь - x и у:(