Гомеоморфизм и равномощность

[Someone]

(Оффтоп)

Lily_) в сообщении #449029 писал(а):

Заслуженный участник с пятью звездочками решил пошутить)))

Я в самом деле не понял, о каких "элементах топологии" Вы говорите. Обычно так не выражаются. А 5 звёздочек означают всего лишь, что я зарегистрировался на форуме не менее 5 лет тому назад.

Lily_) в сообщении #449029 писал(а):

Вообщем, элементы топологий суть различные множества; равномощные топологии-это когда всем множествам из первой топологии поставлены в соответсвие множества из второй, или кроме этого надо, чтоб поставленнные в соответсвие множетва были ещё и равномощны? ну не знаю как это еще сказать)))

Стандартная топология множества рациональных чисел равномощна стандартной топологии множества действительных чисел (обе имеют мощность континуум). К гомеоморфизму эта равномощность имеет весьма отдалённое отношение (разве только то, что у гомеоморфных пространств топологии равномощрые).

Вообще, если задано отображение двух множеств $f\colon X\to Y$, то можно определить два отображения множеств $2^X$ и $2^Y$ друг в друга. Одно из них обычно обозначается $f\colon 2^X\to 2^Y$ (как и исходное) и определяется как $fA=\{fx:x\in A\}$ для $A\in 2^X$, а другое - $f^{-1}\colon 2^Y\to 2^X$ и определяется как $f^{-1}B=\{x: x\in X\&fx\in B\}$ для $B\in 2^Y$. Если $f\colon X\xrightarrow{\text{на}} Y$ было взаимно однозначным, то такими же будут $f\colon 2^X\to 2^Y$ и $f^{-1}\colon 2^Y\to 2^X$ (при этом они будут ещё и взаимно обратными).
В частности, гомеоморфизм пространств порождает таким образом взаимно однозначное соответсвие топологий.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #449368 писал(а):

Если $f\colon X\xrightarrow{\text{на}} Y$ было взаимно однозначным

Здесь взаимно-однозначностью называется инъективность?

[Someone]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #449492 писал(а):

Здесь взаимно-однозначностью называется инъективность?

Нет, конечно. Просто дурная привычка указывать сюръективность в записи отображения всегда, когда она заведомо имеет место или требуется, даже если это явно следует из других условий.