Доказать неравенство (синус квадрата больше квадрата синуса)

[Legioner93]

$\sin{x^2}>\sin^2{x}$ для $x \in (0,1)$.
Нужно для быстрого доказательства равномерной сходимости функционального ряда. Для бесконечно малых $x$ легко доказывается выписыванием первых двух членов формулы Тейлора. Для такого интервала не получается. Методами мат. анализа решить не получилось (нахождение нулей производной, формула Лагранжа). Если решение и есть, то, наверное, с каким-нибудь изящным трюком, неравенством. Спасибо. P.S. Wolframalpha дает одним из решений интервал $(0,1.3644)$.

[Sasha2]

Да какой там изящный трюк. Все очень даже примитивно.
Рассмотрим функцию $\sin{x^2}-\sin^2{x}$.
Ее значение в нуле равно $0$, а ее производная равна $2x\cos{x^2}-2\sin{x}\cos{x}$.
На указанном промежутке $x^2 < x$ и следовательно в силу убывания косинуса $\cos{x^2} > \cos{x}$.
Ну а то, что $x > \sin{x}$ (все там же) и ежу понятно. Таким образом, возрастание указанной функции (в силу положительности производной) налицо, а вместе с ним и справедливость данного неравенства.
Ну и конечно, это неравенство также справедливо на промежутке от $1$ до $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$, что очевидно в силу того, что в этом промежутке $x^2$ уже больше $x$, а значит (в силу возрастания синуса) будем иметь $\sin{x^2} > \sin{x}$, ну а в силу того, что сам то синус не больше единицы, также справедливо и такое неравенство: $\sin{x} > \sin^2{x}$.
Вот это промежуток от $0$ до $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$, наверно вольфрам и выдает.

[Legioner93]

Хм, действительно. Большое спасибо:)