Sin(Sin...Sin(1))...)

[Хорхе]

ewert в сообщении #448223 писал(а):

Хорхе в сообщении #447075 писал(а):

Делать-то так можно, но никакого отношения к исходной последовательности итераций указанная система иметь не будет.

Он не так делал, а так:

Лесной Дух в сообщении #447000 писал(а):

Положил на маленьком отрезочке её производную константе и записал:
$\[ y' = - y(x) + \sin y \]$

Т.е. $\frac{dy}{dn}=-y(n)+\sin y(n)$. Так -- можно, и отношение к исходной последовательности будет прямое (в смысле асимптотическое).

Что такое $dy/dn$? Если это $y_{n+1}-y_n$, то получается просто та же последовательность. Если же это производная, то решение диффура будет убывать к нулю экспоненциально, и никакой связи между асимптотиками не будет.

[hurtsy]

ewert в сообщении #448281 писал(а):

Выполняется. Только к сжимаемости это не имеет отношения.

Спасибо, ewert.
Мой вопрос не сжимаемость.

hurtsy в сообщении #448271 писал(а):

А что же есть правда?

С уважением,

[ewert]

Хорхе в сообщении #448293 писал(а):

Что такое $dy/dn$? Если это $y_{n+1}-y_n$, то получается просто та же последовательность. Если же это производная, то решение диффура будет убывать к нулю экспоненциально

Вот именно что не экспоненциально, а степенным образом, т.е. медленно (приращения функции на участках единичной длины много меньше самой функции). Это и даёт эвристические основания предположить, что такая замена адекватна и, скорее всего, приведёт к правильной асимптотике. Потом её надо обосновать, но это уже вопрос техники.

[Хорхе]

ewert в сообщении #448373 писал(а):

Вот именно что не экспоненциально, а степенным образом, т.е. медленно (приращения функции на участках единичной длины много меньше самой функции). Это и даёт эвристические основания предположить, что такая замена адекватна и, скорее всего, приведёт к правильной асимптотике. Потом её надо обосновать, но это уже вопрос техники.

Это о каком диффуре мы говорим? $y'=-y+\sin y$? Его решение убывает к нулю степенным образом? Возможно и да, а почему?

UPD: Кажется понял почему. (Неправильно записывал решение для $y'=-y+1$, поэтому у меня была экспоненциальная сходимость.) И даже, кажется, понял, почему оно с рекуррентным уравнением связано.

[Лесной Дух]

Спасибо. Вроде немного прояснилось.
А какими методами решать этот диффур?

[Руст]

Решать то легко $x(y)=\int_a^y\frac{dt}{t-\sin t}.$
При $y\to 0$ асимптотика $x(y)=-\frac{3}{y^2}$ (не соответствует знак).

[Лесной Дух]

Цитата:

При $y\to 0$ асимптотика $x(y)=-\frac{3}{y^2}$ (не соответствует знак).

Тюю..., то бишь вся мудрость свелась к разложению синуса по Маклорену?

[ShMaxG]

Руст в сообщении #448976 писал(а):

Решать то легко $x(y)=\int_a^y\frac{dt}{t-\sin t}.$

Вообще-то

$x(y)=\int_a^y\frac{dt}{-t+\sin t}.$

если уж на то пошло. И вроде как асимптотика правильная.

[Руст]

Прошу прощения. Я думал потеряли знак до меня. Это оказывается я потерял знак.

[ShMaxG]

Лесной Дух в сообщении #449014 писал(а):

Тюю..., то бишь вся мудрость свелась к разложению синуса по Маклорену?

Наверно как-то так:

$\[\frac{1} {{ - t + \sin t}} = - \frac{1} {t}\frac{1} {{1 - \frac{{\sin t}} {t}}} = - \frac{1} {t}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{{\left( {\frac{{\sin t}} {t}} \right)}^n}} \]$

Я вот не знаю, можно ли заносить интеграл внутрь суммы, но если можно, то, по-видимому, интеграл берется, но без интегрального косинуса не обойтись.

-- Вс май 22, 2011 23:20:18 --

Кстати, можете посмотреть сюда:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Ft*%28sin%28t%29%2Ft%29^n[/url]

Не графики, а искусство.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #449027 писал(а):

то, по-видимому, интеграл берется, но без интегрального косинуса не обойтись.

Не надо ничего никуда заносить, нужно действительно просто по Маклорену, ведь речь-то всего лишь об асимптотике, причём лишь о первом её члене.

[Руст]

Решение дифура соответствует только в главном члене асимптотического решения.
Само асимптотическое решение имеет вид:

$$y_n=\sqrt{\frac 3n}(1+\sum_{k}\frac{a_{k,k}(\ln n)^k+a_{k,k-1}(\ln n)^{k-1}+...+a_{k,0}}{n^k}).$$

Притом, что здесь только члены $a_{k,k}$ не зависят от начальных данных. Остальные зависят от начального условия.