Sin(Sin...Sin(1))...)

[Лесной Дух]

Всем Здравствуйте.
Если на калькуляторе нажать "1", а потом много раз sin,sin,sin,sin.... и тд, то по какому закону эта штука будет к нулю сходиться?(если будет)
Эксель говорит, что должно получится что-то вроде:


Существуют ли методы получить это аналитически?
Попробовал повозиться с производящими функциями - ничего не получилось.
Ещё рассмотрел функцию у. Положил на маленьком отрезочке её производную константе и записал:
$\[ y' = - y(x) + \sin y \]$

Скормил это вольфраму, получил:

Нечто похожее, но аналитического решения и тут нет. вот.
Что делать? Где почитать?))

[Хорхе]

Картинки военного времени...

Что на картинках-то? И откуда диффур взялся, можно ли поподробнее?

[Sonic86]

Лесной Дух писал(а):

Если на калькуляторе нажать "1", а потом много раз sin,sin,sin,sin.... и тд, то по какому закону эта штука будет к нулю сходиться?(если будет)

$x_n \sim \sqrt{\frac{3}{n}}$
Вот оно: topic10060.html
наиболее полное обсуждение
Здесь можно найти поиском по формулам + есть в де Брейне кажется.

[Portnov]

Сходимость этой штуки к нулю очевидна со многих точек зрения :)

1. Отображение $x\mapsto\sin x$ на отрезке, скажем, $[0, \frac\pi2]$ является сжимающим. Так что у него есть единственная неподвижная точка, т.е такое $x_0$ что $x_0=\sin x_0$. Ясно, что $x_0=0$. При этом известно, что это $x_0$ можно находить вот именно так: взять любую точку из отрезка и применять к ней сжимающее отображение, в пределе будет $x_0$.

2. Без функана: ясно, что $\forall x\in[0;\frac\pi2]$ $\sin x<x$ (хотя бы из графиков ясно). Так что последовательность монотонно убывает. При этом она ограничена снизу нулём, так что у неё есть предел. Только тут ещё надо доказать, что этот предел — именно 0, это некоторое количество писанины, но вроде вполне тривиально.

[Хорхе]

Portnov в сообщении #447034 писал(а):

Отображение $x\mapsto\sin x$ на отрезке, скажем, $[0, \frac\pi2]$ является сжимающим.

Неправда.

-- Ср май 18, 2011 08:35:01 --

Portnov в сообщении #447034 писал(а):

(хотя бы из графиков ясно).

Если так рассуждать, то плотность нормального распределения финитна (из графика ясно), так что она не может быть аналитической функцией.

Впрочем, если выбросить эту скобку, то правильно.

[Лесной Дух]

Ого, оперативно вы Спасибо!

Цитата:

Что на картинках-то?

Ну по сути имеем рекуррентность $ \[ y_n = \sin \left( {y_{n - 1} } \right) \]$
А требуется написать $\[ y_n = f\left( n \right) \]$, как функцию n, и на картинках как раз и изображена эта функция $\[ y_n = f\left( n \right) \]$

Цитата:

И откуда диффур взялся, можно ли поподробнее?

Это может немного по-детски, но я хотел провести аналогию с движением точки, как будто через равные промежутки времени t, её скорость меняется именно так, т.е. было $\[ Y \]$, стало $\[ SinY \]$
Тогда если t=1 c, то ускорение точки нужно взять как разность. Вот это и записал.
Так вообще можно делать?

[Хорхе]

Лесной Дух в сообщении #447062 писал(а):

Цитата:

И откуда диффур взялся, можно ли поподробнее?

Это может немного по-детски, но я хотел провести аналогию с движением точки, как будто через равные промежутки времени t, её скорость меняется именно так, т.е. было $\[ Y \]$, стало $\[ SinY \]$
Тогда если t=1 c, то ускорение точки нужно взять как разность. Вот это и записал.
Так вообще можно делать?

Делать-то так можно, но никакого отношения к исходной последовательности итераций указанная система иметь не будет.

[Лесной Дух]

Даже при больших n не будет?
А почему качественно графики совпадают? это просто случайность?

[Dan B-Yallay]

"качественно" совпадает бесконечное множество графиков.

[Munin]

Хорхе в сообщении #447075 писал(а):

Делать-то так можно, но никакого отношения к исходной последовательности итераций указанная система иметь не будет.

Почему?

[spaits]

$sin (sin (sin ... 1))=x $; в скобках та же бесконечная последовательность $x$.
$sin x=x$; $x=0$.

[ewert]

Хорхе в сообщении #447075 писал(а):

Делать-то так можно, но никакого отношения к исходной последовательности итераций указанная система иметь не будет.

Он не так делал, а так:

Лесной Дух в сообщении #447000 писал(а):

Положил на маленьком отрезочке её производную константе и записал:
$\[ y' = - y(x) + \sin y \]$

Т.е. $\frac{dy}{dn}=-y(n)+\sin y(n)$. Так -- можно, и отношение к исходной последовательности будет прямое (в смысле асимптотическое).

[spaits]

И что означает выражение $Sin (Sin ...Sin(1))...)$, в особенности последняя скобка?

[hurtsy]

Хорхе в сообщении #447044 писал(а):

Portnov в сообщении #447034 писал(а):
Отображение $x\mapsto\sin x$ на отрезке, скажем, $[0, \frac\pi2]$ является сжимающим.

Неправда.

А что же есть правда? Мне всегда при виде круга, кажется, длина дуги больше длины хорды на которую дуга опирается( это ведь можно назвать графикой). То есть для $x>0$ выполняется $ \sin x < x$. С уважением,

[ewert]

hurtsy в сообщении #448271 писал(а):

То есть для $x>0$ выполняется $ \sin x < x$.

Выполняется. Только к сжимаемости это не имеет отношения.