Свернуть Гаусса

[Cobert]

$$\xi_i (\tau; A_i, \sigma_i) = A_i\exp\left(\frac{\tau^2}{2\sigma_i^2}\right)$$ $$(\xi_1 * \xi_2 )(t)=\int_{- \infty}^{\infty}\xi_1(\tau)\xi_1(t-\tau) d\tau$$

То есть первая функция -- гауссовый пик.
Вторая функция -- свертка гауссовых пиков с произвольными параметрами.

Если я все правильно вычислил, если я все правильно понял, то такой свертки не существует. Я прав? Если да, то почему?

Я попытался сделать численно (т.к. в итоге все делалось для обработки цифрового сигнала). Зафиксировал Кси2 в определенном положении, то есть определил "мат. ожидание" пика (Мю2). Свернул Кси2 с Кси1. Получил формулу для любой точки свертки, если Кси2 определена в какой-то области значений [xmin, xmax]. Замечательно. Далее, зная значения свертки, зная $A_1, \sigma_1, \mu2$, попробовал вывести А2 и Сигма2, приравнивая их к любым двум точкам свертки. Если я все правильно сделал, у меня выходит, что в выкладках появляется ln(a+b+c+...). Такое, понятное дело, не раскроешь. Разложение по Тейлору также невозможно сделать, т.к. диапазон аргумента не удовлетворяется. То есть, функция и здесь показывает свой непокорный характер. А восстанавливать Кси2, зная параметры свертки и параметры Кси1, я должен уметь. Единственный выход, который я вижу, это банальный подбор, зафиксировав А2. Но тупо как-то получается. Что делать?

И да, я предполагаю, что могу экстаполировать 2 любые точки гауссом, если знать "мат. ожидание" пика. То есть создаю систему:

$$y_1 = \xi_i (x_1-\mu_i; A_i, \sigma_i)$$ $$y_2 = \xi_i (x_2-\mu_i; A_i, \sigma_i)$$

И нахожу амплитуду с дисперсией.

[Vince Diesel]

В экспоненте долджен быть минус. А свертке гауссовых плотностей соответствует сумма гауссовых величин. Это снова гауссова величина с $\sigma=\sigma_1+\sigma_2$.

-- Сб май 21, 2011 09:41:00 --

[ewert]

Vince Diesel в сообщении #448227 писал(а):

А свертке гауссовых плотностей соответствует сумма гауссовых величин.

Не только гауссовых.

Vince Diesel в сообщении #448227 писал(а):

$\sigma=\sigma_1+\sigma_2$.

да?...

[Vince Diesel]

Ошибся. Конечно, дисперсии складываются: $\sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2$.

[Cobert]

Vince Diesel в сообщении #448227 писал(а):

В экспоненте долджен быть минус. А свертке гауссовых плотностей соответствует сумма гауссовых величин. Это снова гауссова величина с $\sigma=\sigma_1+\sigma_2$.

-- Сб май 21, 2011 09:41:00 --

Да, я знаю. Вычисления делал с учетом минуса. Здесь просто забыл.

Как я понимаю, здесь слишком много выкладок надо делать. По этому никому это, в общем, и не надо. Но если интересно, для увеличения скорости процесса пользуйтесь мат. пакетами.

И еще. Я говорил про логарифм суммы. Он был введен искусственно. Обойтись можно и без него. Степенную функцию, с которой я по усталости пытался бороться логарифмом, я решил разложить в ряд и решать с заданной точностью. Вроде, все выходит теперь. Осталось проверить работу на практике.

Спасибо всем за внимаение.

[ewert]

Cobert в сообщении #448310 писал(а):

Как я понимаю, здесь слишком много выкладок надо делать.

Каких?... Здесь вообще ничего не надо делать.

Свёртка двух плотностей -- это всегда плотность суммы двух независимых соответственно распределённых случайных величин. А конкретно когда обе величины распределены нормально, то и их сумма тоже, как известно, распределена нормально. При этом складываются их матожидания (как всегда) и дисперсии (раз они независимы). Больше ничего для выписывания результата и не нужно.

[Cobert]

ewert

То что вы сказали, я понимаю с математической точки зрения так:

$$A_1\exp{\left(-\frac{(x-\mu_1)^2}{2 \sigma_1^2}\right)} A_2\exp{\left(-\frac{(x-\mu_2)^2}{2 \sigma_2^2}\right)}=A_1A_2\exp{\left(-\frac{\sigma_2^2(x-\mu_1)^2+\sigma_1^2(x-\mu_2)^2}{2 \sigma_1^2\sigma_2^2}\right)}$$

Ну и далее можно сделать еще красивее по средством раскрытия скобок. Все это, конечно, замечательно, но интеграл от этой функции ни у меня, ну и МатКада не получается взять аналитически. А мне нужно получить конечный результат.

Когда я сам попытался взять интеграл, мне пришлось в итоге перейти к рядам. Оказалось, что интегрирование членов ряда означает получение несуществующей функции. Я пытался решить их в МатКаде, в итоге получал какую-то околесицу с взаимоисключающими параграфами. МатКад сам интеграл взять не мог, я попвтался взять его сам. Разложил его на кирпичики. Оказалось, что кирпичиков не существуют.

Вполне возможно, что я где-то допустил ошибку или ошибки и несу сейчас околесицу.

-- Сб май 21, 2011 15:45:05 --

Ах, вот, я нашел кусок выкладок (остальные на работе). После всех преобразований получилось вот что

$$C\int_{-\infty}^{\infty}\left[ e^{\tau A+B}\right]^\tau d\tau$$

Далее раскладываю функцию $f^x$ в ряд тейлора при x = 0 и интегрирую члены.

-- Сб май 21, 2011 15:48:31 --

И еще, может быть жто важно. У меня не нормальное распределение. Я рассматриваю именно гауссовй пик с произвольными параметрами A, сигма, мю. То есть я не работаю с вероятностями.

[profrotter]

Вот пристали к человеку со своими случайными величинами.
Искомую свёртку обозначим $g(t)$. Итак два гауссовых импульса:

$$g_1(t)=exp(-a_1(t-t_1)^2)$$

$$g_2(t)=exp(-a_2 (t-t_2)^2)$$

Их преобразование Фурье (с учётом свойства временного запаздывания)

$$G_1(\omega)=\sqrt{\frac {\pi} {a_1}}exp(-\frac {\omega^2} {4a_1})exp(-j\omega t_1)$$

$$G_2(\omega)=\sqrt{\frac {\pi} {a_2}}exp(-\frac {\omega^2} {4a_2})exp(-j\omega t_2)$$

Применяем теорему о свёртке для преобразования Фурье

$$G(\omega)=G_1(\omega)G_2(\omega)=$$

$$=\frac {\pi} {\sqrt{a_1a_2}}exp(-\omega^2(\frac {1} {4a_1}+\frac {1} {4a_2}))exp(-j\omega (t_1+t_2))=\sqrt{\frac{\pi}{a_1+a_2}}\sqrt{\frac{\pi}{a}}exp(-\frac {\omega^2} {4a})exp(-j\omega t_0)$$

где $a=\frac {a_1a_2}{a_1+a_2},t_0=t_1+t_2$. Берём обратное преобразование Фурье:

$$g(t)=\sqrt{\frac{\pi}{a_1+a_2}}exp(-a(t-t_0)^2)$$

-- Сб май 21, 2011 15:50:30 --

И в лоб можно взять, если подобрать удачную замену в интеграле.

[Cobert]

profrotter

Оооо, благодарю вас. То есть по средством перехода в фурье-пространство получили аналитическое выражение свертки гауссовых пиков?

Тогда первый вопрос: почему не получается взять в прямом пространстве? Почему можно получить выражение благодаря обратному пространству? И третий вопрос, что нужно изучить, что бы хорошо разобраться в ваших выкладках. То есть приветствуется именно ссылка. Про работу с фурье-пространством я знаю очень поверхностно.

-- Сб май 21, 2011 16:04:45 --

Нет, ссылко не надо. Я все понял.

Гениально и просто. Еще раз ОГРОМНОЕ спасибо.

[ewert]

Cobert в сообщении #448327 писал(а):

математической точки зрения так:

$$A_1\exp{\left(-\frac{(x-\mu_1)^2}{2 \sigma_1^2}\right)} A_2\exp{\left(-\frac{(x-\mu_2)^2}{2 \sigma_2^2}\right)}=A_1A_2\exp{\left(-\frac{\sigma_2^2(x-\mu_1)^2+\sigma_1^2(x-\mu_2)^2}{2 \sigma_1^2\sigma_2^2}\right)}$$

Неправильно понимаете. Надо так:

$$A_1\exp{\left(-\frac{(x-\mu_1)^2}{2 \sigma_1^2}\right)} A_2\exp{\left(-\frac{(y-\mu_2)^2}{2 \sigma_2^2}\right)}=A_1A_2\exp{\left(-\frac{\sigma_2^2(x-\mu_1)^2+\sigma_1^2(y-\mu_2)^2}{2 \sigma_1^2\sigma_2^2}\right)}.$$

Это -- совместная плотность нормального распределения для некоей двумерной случайной величины. И поскольку мы заранее знаем, что сумма компонент такой величины распределена также нормально, и что матожидания и дисперсии складываются -- мы, ничего вообще не считая, сразу выписываем ответ в виде $\displaystyle A\exp{\left(-\frac{(t-\mu_1-\mu_2)^2}{2 (\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\right)}\,.$ Где, естественно, $A=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\,.$

Но, между прочим, и в лоб проинтегрировать $\displaystyle e^{-\frac{(\tau-\mu_1)^2}{2 \sigma_1^2}}\cdot e^{-\frac{(t-\tau-\mu_2)^2}{2 \sigma_2^2}}$ по всей оси совсем нетрудно. Надо лишь объединить показатели, привести вверху всё к общему знаменателю, раскрыть скобки, выделить полный квадрат по переменной $\tau$ -- и всё сведётся к интегралу Пуассона.

Только это -- лишняя работа, тем более Фурье.

[Cobert]

ewert

>выделить полный квадрат по переменной $\tau$ -- и всё сведётся к интегралу Пуассона.

Хах, именно это я и сделал. Чуть раньше. Но вот интеграл Пуассона я не заметил. Наверное потому, что редко встечал.

Да и теорвер помню только основе полуторогодовой давности.

Вот уж не знаю, могу ли я себя этим оправдывать.

В любом случае, и вам спасибо.