Возможно не стоило расписывать все это, поскольку решение меня пока не удовлетворяет, но мне сказали, что тут могут помочь с моими трудностями.
Итак вот мои соображения:
Для начала надо качественно разрбратся почему происходит разворот и ввести системы координат.
Рассмотрим эллипсоид с таким распределением массы, что его тензорный эллипсоид инерции повернут вокруг вертикальной оси, но центр масс совпадает с геометрическим центром геометрического эллипсоида. Он может двигаться по горизонтальной плоскости без проскальзывания.
Пускай у нашего геометрического эллипсоида
для определенности строго
и он лежит на точке c, то есть находится в устойчивом равновесии, поскольку центр масс на наименьшем расстоянии от плоскости. будем использовать две системы координат X0,Y0,Z0 и x,y,z. Первая неподвижная и расположена так:
Ось X направлена вдоль начального направления оси "a" для геометрического эллипсоида и т.п. а ось Z направлена НАВЕРХ.
Заметте что СК связана с главными осями геометрического эллипсоида, но не тензорного(повернутого относительно оси Z).
Система x,y,z координат жестко связана с телом и получается из X0,Y0,Z0 вращением углами эйлера
- угол нутации
- угол поворота оси узлов
и
- угол поворота собственного вращения.
С углами эйлера бывают неопределенности. Я использую те, что у ЛЛ1 и Гольдстейна.
Вот картинка СК (извините за качество)
Нарисованный сплошной линией эллипсоид - геометрический, а штрихованый - тензорный.
Разобравшись с координатами посмотрим почему же происходит разворот?
Представим что мы слегка закрутили геометрический эллипсоид вокруг оси x. появится момент импульса по этой оси. Если бы плоскости на которой лежит тело не было, то в простом случае симметричного эллипсоида инерции(симметричный волчок) происходила бы прецессия этого штрихованного тензорного эллипсоида вокруг оси x, а геометрический тогда бы вообще ничего не менял. Но поскольку этой прецессии препятствует плоскость, то возникнет сила реакции имеющая отрицательную состовляющую по оси y, приложенная к точке касания, которая сместится по оси x в положительную сторону, что тоже понятно из свободного вращения. Итак у нас появится отрицательный момент силы по оси z !!
Геометрический эллипсоид не перевернется из-за силы тяжести, которая закрутит его относительно оси оси x в другую сторону, тогда момент импульса направленный по x поменяет знак и станет отрицательным. Рассуждая так же как раньше придем к тому, что момент силы реакции опять будет отрицательным!! То есть независимо от знака момента импульса по x всегда есть отрицательный момент силы по z!
По сути мы показали, что если закрутить эллипсоид вокруг оси x, то он раскрутится относительно оси z (в нашем случае по часовой стрелке) Но тоже происходит и при уже имеющемся вращении вокруг оси z. и малейших колебаниях вокруг x. Если вращение идет против часовой стрелки, то всегда отрицательный момент силы реакции сначала их останавливает усиливая колебания вокруг x, а затем эти колебания переходят из-за того же момента во вращения по часовой стрелке по оси z.
На видео, скажем тензорный эллипсоид повернут по направлению взгляда лягушек(поскольку головы тяжелее) Следовательно момент реакции всегда будет стремится закрутить тело по направлению взгляда лягушек, что тоже видно на видео.
Теперь аналитическая часть.
Система координат у нас не по главным осям тензорного эллипсоида, то тензор инерции имеет вид
Можно считать, что мы в однородный эллипсоид поместили в плоскости центра масс две тяжелые точки, тогда появятся эти компоненты
ск связанная с эллипсоидом инерции подходит плохо поскольку геометрическая задача поиска точки касания в таких координатах очень усложняется.
Запишем сначала уравнения в общем виде во вращающейся системе координат xyz.
Для центра масс
![$m (\vec{V}'+[\Vec{\Omega},\Vec{V}])=\Vec{f}+m \Vec{g}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/7/d97d516a8a803e855c2d525e93f0676782.png "$m (\vec{V}'+[\Vec{\Omega},\Vec{V}])=\Vec{f}+m \Vec{g}$")
(1)
тут
- сила реакции опоры.
Для момента импульса тела
![$m (\vec{L}'+[\Vec{\Omega},\Vec{L}])=[\Vec{a},\Vec{f}]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/0/51025f2ab471890a39aff8486df1bb4682.png "$m (\vec{L}'+[\Vec{\Omega},\Vec{L}])=[\Vec{a},\Vec{f}]$")
(2)
тут
-момент импульса
- вектор точки касания из ЦМ в точку касания плоскости.
И наконец уравнение связи
![$\Vec{V}=-[\Vec{\Omega},\Vec{a}]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/7/c5767e350efd95309b53d9c139a60c2b82.png "$\Vec{V}=-[\Vec{\Omega},\Vec{a}]$")
(3)
Мы применяем углы эйлера, но мне начинает казатся, что это само по себе ошибка, поскольку при
углы
и
неразличимы, а в приближениях которые я объясню позже угол
мал. Попытавшись решить точные уравнения численно я постоянно получал сингулярности и расходимости и странные поведения, хотя качественно эффект и был. Ошибка ли это в моих вычислениях или уравнения в эйлеровых углах действительно слишком неудачные я пока не знаю. Тем не менее получить систему неплохих приближенных уравнений мне все-таки удалось. По их виду во всяком случае прекрасно виден эффект.
В углах эйлера вектор
выглядит так
![$ \Omega_x=\phi'(t) \sin[\theta(t)] \sin[\psi(t)]+\theta'(t) \cos[\psi(t)] $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/6/fb6d8d786c91b8e7155475b476f2951f82.png "$ \Omega_x=\phi'(t) \sin[\theta(t)] \sin[\psi(t)]+\theta'(t) \cos[\psi(t)] $")
![$ \Omega_y=\phi'(t) \sin[\theta(t)] \cos[\psi(t)]-\theta'(t) \sin[\psi(t)] $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/7/887463beaa75ac11fb5b0883e3e275c282.png "$ \Omega_y=\phi'(t) \sin[\theta(t)] \cos[\psi(t)]-\theta'(t) \sin[\psi(t)] $")
![$ \Omega_z=\phi'(t) \cos[\theta(t)] +\psi'(t) $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/6/ba6d25ef184be098ddf303ef6ec626cd82.png "$ \Omega_z=\phi'(t) \cos[\theta(t)] +\psi'(t) $")
Вектор
в координатах xyz будет выглядеть как
![$
m g_x=-m g \sin[\psi] \sin[\theta]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/e/9ee2203cff87080b59dffb0c46ee558482.png "$
m g_x=-m g \sin[\psi] \sin[\theta]$")
![$m g_y=-m g\cos[\psi] \sin[\theta] $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/1/0a1127884965b9605bf3f6240598060f82.png "$m g_y=-m g\cos[\psi] \sin[\theta] $")
![$m g_y=-m g\cos[\theta]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/9/f6926e43703c6400c9fe3282bbefe18982.png "$m g_y=-m g\cos[\theta]$")
Проекция точки (x,y,z) на старую ось Z выглядит как
![$Z_{old}=\sin[\psi] \sin[\theta] x +\cos[\psi] \sin[\theta] y+\cos[\theta] z$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/9/8395e8a7540a2726219565f455abe34f82.png "$Z_{old}=\sin[\psi] \sin[\theta] x +\cos[\psi] \sin[\theta] y+\cos[\theta] z$")
Точка касания соответствует точке на геометрическом эллипсоиде с минимальным Z, тогда из
Получим вектор точки касания в собственных координатах (при
)
![$a_x=\frac{a^2 \sin[\psi] \tan[\theta]}{c^2} a_z$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/f/81fa411910436918f8929d6e7497a5df82.png "$a_x=\frac{a^2 \sin[\psi] \tan[\theta]}{c^2} a_z$")
![$a_y=\frac{b^2 \cos[\psi] \tan[\theta]}{c^2} a_z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/0/a7037039b5ffebecade218140970a33882.png "$a_y=\frac{b^2 \cos[\psi] \tan[\theta]}{c^2} a_z$")
![$a_z=\frac{-c^2}{\sqrt{\tan[\theta]^2 (a^2 \sin[\psi]^2+b^2 \cos[\psi]^2)+c^2}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/5/c65d360b7d341db7d44e712644b26bff82.png "$a_z=\frac{-c^2}{\sqrt{\tan[\theta]^2 (a^2 \sin[\psi]^2+b^2 \cos[\psi]^2)+c^2}}$")
Конечно же прямо подставлять эти выражения в уравнения (1),(2),(3) в принципе можно и при численных расчетах это проделывал компьютер, но человек с такими вычислениями будет возится слишком долго.
примем для простоты в тензоре инерции
Итак будем считать малыми (первого порядка малости) следующие величины
,
Кроме того при небольших энергиях системы углы
и
а так же их все их производные должны, по видимому оставатся малыми. Малым должна оставатся угловая скорость вращения вокруг оси вертикальной Z0
а с ней и величина
Разложив все выражения в ряды и оставляя при всех вычислениях только члены до второго порядка малости включительно получим систему уравнений для углов эйлера. взяв линейную комбинацию двух из них(она напрашивается) получится система
(4)
(5)
(6)
Уравнения (4) при если считать
это уравнение гармонических колебаний для угла
слагаемое
приводит к связи этого колебания с остальными
В уравнении (5) слагаемое
приводит к уменьшению угловой скорости по Z0 при положительном
независимо от угловой скорости
, что соответствует качественным рассуждениям! Проблема в том, что колебания для
оказываются неустойчивыми и в итоге перестают быть малыми, хотя для начального момента времени модель более менее годится.
-- Сб май 21, 2011 02:20:19 --Визуально похоже на то, что ось вращения камня меняет своё направление. Сначала она перпендикулярна к камню и камень вращается горизонтально, затем она ложится вдоль камня и начинаются колебания вверх-вниз, а потом ось опять принимает положение перпендикулярное к камню.
Да, можно попытаться построить какую то приближенную модель считая, что у нас есть вектор момента импульса который всегда в плоскости xz и на который действует момент сил реакции в этой же плоскости, который как то просто зависит от момента импульса. тогда получится уравнение для момента импульса.
А ТС обрядившись в маскарадный костюм "Иван Сусанин" уводит ,заводит в такие дебри, что только внимательное, многократное чтение ЛЛ может проложить более-менее верный курс.. Давайте ближе к "новогоднему столу". Среди новогодних развлечений есть упрощенная но съедобная модель кельтского камня сваренное "круто" яйцо. Если его раскрутить на столе, вокруг оси перпендикулярной самому длинному диаметру яйца, реакции опоры приводят к тому, что осью вращения становится этот самый длинный диаметр. Если яйцо распилить на две равные части вдоль самого длинного диаметра, получите сразу два кельтских камня. Вместо черепашек можете применить, что вам позволит хозяйка стола. Если приготовить кнопочки с полусферическими головками, можно намного продвинуть интерес к этой древней но интересной задаче. С уважением и наступающим Новым годом!