Моменты максимума сум случайных величин

[Chernobrivec]

Добрый день

Пускай \xi_1,..,\xi_n - последовательность независимых одинаково распределнных случайных величин.


S_n = \sum_{i=1}^n \xi_i

S_n^{'} = \max_{1 \le k \le n} S_n

Какие есть оценки для моментов с.в

S_n^'?

Буду благодарен за любые ответы.

[Хорхе]

То, что Вам нужно, -- это неравенство Буркхолдера(-Ганди-Девиса):

$$E\left[\max_{m\le n}\Big|\sum_{k=1}^m \zeta_k \Big|^p\right]\le C_p E\left[\Big|\sum_{k=1}^n \zeta_k^2\Big|^{p/2}\right],$$

тут $\zeta_k$ -- мартингал-разность (например, центрированные норсв подойдут).

В частности, в Вашем случае $E[|S_n'|^p]\le C_p n^p E[|\xi_1|^p]$ (и понятно, что лучше оценки быть не может).

[Chernobrivec]

Хм, очень напоминает неравенство Розенталя.
Спасибо большое, это то что нужно.

[Chernobrivec]

Вы не подскажете где можно найти это неравенство?

[Хорхе]

Думаю, в учебнике Ширяева оно есть. Обязано быть. Не найдете - свистите.


Кстати, я модуль не там написал (уже исправил). Он под максимумом, что еще круче.

[Chernobrivec]

Да, Вы правы, в Ширяеве они есть, так же нашел в "Неравенства Хинчина и мартингальное расширение сферы их действия" Г. Пешкир, А. Н. Ширяев

Спасибо огромное за помощь.