2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Функция
Сообщение18.05.2011, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
Упс!! :oops: Не о том думал с примером. Щас

Попробуйте $e^{-\frac 1 {x^2}} = e^{-(x^{-2})}, \ x >0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция
Сообщение18.05.2011, 00:46 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
Dan B-Yallay
Во избежании недорозумений я повторю
Надо построить функцию $f(x)$ удовлетворяющею условиям.
1. $ \[
f(x) \in C^\infty  (R)\]$
2. при $\[
x > 0
\]$
имела конкретное аналитическое задание и при $\[
x \leqslant 0
\]$
равнялась нулю.
3.$\[
f^{(n)} (0) = 0
\]
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция
Сообщение18.05.2011, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
См. выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция
Сообщение18.05.2011, 01:00 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
Dan B-Yallay
$\[
f(x) = \left\{ \begin{gathered}
  e^{ - \frac{1}
{{x^2 }}} ;x > 0 \hfill \\
  0;x \leqslant 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\]$.
непрерывность в точке $x=0$
$\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} e^{ - \frac{1}
{{x^2 }}}  = 0 = f(0)
\]$
Проверим дифференцируемость в нуле.

$\[
f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^{ - \frac{1}
{{x^2 }}} }}
{x} = 0
\]$
Итак функция $f(x)$ дифференцируема на всей прямой. и $\[
f'(0) = 0
\]$

-- Ср май 18, 2011 02:08:01 --

Dan B-Yallay
Теперь надо разобраться с непрерывностью производных и условием $\[
f^{(n)} (0) = 0
\]
$.

для $\[
x > 0
\]$ $\[
f'(x) = 2x^{ - 3} e^{ - (x^{ - 2} )} 
\]$.
Конечно можно и здесь предел в нуле посчитать(непрерывность в нуле ), и на дифференцируемость и получить, что $\[
f''(0) = 0
\]$ но можно как то по быстрее это сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция
Сообщение18.05.2011, 01:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
Как побыстрее - не знаю. Используйте факт, что еkcпонента забьет любой полином.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция
Сообщение18.05.2011, 08:35 


26/12/08
1813
Лейден
Нетрудно показать по индукции, что н-ая производная это $P(x)\mathrm{e}^{-1/x^2}$. Просто покажите, что для любого полинома $P$ предел в нуле - нуль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция
Сообщение18.05.2011, 12:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Gortaur в сообщении #447054 писал(а):
н-ая производная это $P(x)\mathrm{e}^{-1/x^2}$.

С точностью до $P(\frac1x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция
Сообщение18.05.2011, 12:45 


26/12/08
1813
Лейден
Спасибо за поправку :) Ну, так как я про $P$ не говорил, от чего он полином - то формально ошибки нет :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group