Функция

[Dan B-Yallay]

Упс!! Не о том думал с примером. Щас

Попробуйте $e^{-\frac 1 {x^2}} = e^{-(x^{-2})}, \ x >0$

[maxmatem]

Dan B-Yallay
Во избежании недорозумений я повторю
Надо построить функцию $f(x)$ удовлетворяющею условиям.
1. $ \[ f(x) \in C^\infty (R)\]$
2. при $\[ x > 0 \]$
имела конкретное аналитическое задание и при $\[ x \leqslant 0 \]$
равнялась нулю.
3.$\[ f^{(n)} (0) = 0 \] $

[Dan B-Yallay]

См. выше.

[maxmatem]

Dan B-Yallay
$\[ f(x) = \left\{ \begin{gathered} e^{ - \frac{1} {{x^2 }}} ;x > 0 \hfill \\ 0;x \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$.
непрерывность в точке $x=0$
$\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} e^{ - \frac{1} {{x^2 }}} = 0 = f(0) \]$
Проверим дифференцируемость в нуле.

$\[ f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^{ - \frac{1} {{x^2 }}} }} {x} = 0 \]$
Итак функция $f(x)$ дифференцируема на всей прямой. и $\[ f'(0) = 0 \]$

-- Ср май 18, 2011 02:08:01 --

Dan B-Yallay
Теперь надо разобраться с непрерывностью производных и условием $\[ f^{(n)} (0) = 0 \] $.

для $\[ x > 0 \]$ $\[ f'(x) = 2x^{ - 3} e^{ - (x^{ - 2} )} \]$.
Конечно можно и здесь предел в нуле посчитать(непрерывность в нуле ), и на дифференцируемость и получить, что $\[ f''(0) = 0 \]$ но можно как то по быстрее это сделать?

[Dan B-Yallay]

Как побыстрее - не знаю. Используйте факт, что еkcпонента забьет любой полином.

[Gortaur]

Нетрудно показать по индукции, что н-ая производная это $P(x)\mathrm{e}^{-1/x^2}$. Просто покажите, что для любого полинома $P$ предел в нуле - нуль.

[ewert]

Gortaur в сообщении #447054 писал(а):

н-ая производная это $P(x)\mathrm{e}^{-1/x^2}$.

С точностью до $P(\frac1x)$.

[Gortaur]

Спасибо за поправку :) Ну, так как я про $P$ не говорил, от чего он полином - то формально ошибки нет