Камни на доске или Математическое го

[Xenia1996]

На каждой клетке доски $n\times n$ лежит по камню.
Ход заключается в том, чтобы выбрать любой прямоугольник $1 \times 3$ или $3\times 1$, обе крайние клетки которого не пусты от камней, и переложить все камни из крайних клеток этого прямоугольника в его центральную клетку.

При каких натуральных $n>2$ можно добиться того, чтобы все $n^2$ камней лежали в одной клетке?

[zhekas]

при любых n

сначала, в каждом столбце переносим все камни во вторую клетку столбца, а затем во второй строке переносим все камни во вторую клетку строки

[Xenia1996]

zhekas в сообщении #446908 писал(а):

при любых n

сначала, в каждом столбце переносим все камни во вторую клетку столбца, а затем во второй строке переносим все камни во вторую клетку строки

Например, при $n=4$ как Вы это сделаете?

[Crutoy Pazan]

(Оффтоп)

опередили)

еще можно для куба обобщить, и для эн-мерного куба

[zhekas]

Xenia1996 в сообщении #446913 писал(а):

zhekas в сообщении #446908 писал(а):

при любых n

сначала, в каждом столбце переносим все камни во вторую клетку столбца, а затем во второй строке переносим все камни во вторую клетку строки

Например, при $n=4$ как Вы это сделаете?

1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1

1 1 1 1
0 0 0 0
3 3 3 3
0 0 0 0

0 0 0 0
4 4 4 4
0 0 0 0
0 0 0 0

0 0 0 0
4 012 0
0 0 0 0
0 0 0 0

0 0 0 0
016 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

[Xenia1996]

А, ну конечно, как всегда!
Я написала в условии "переложить все камни", а надо было по одному с каждой крайней клетки. Например, если в одной крайней будет 5 камней, а в другой 6, то все не получится, один останется.

[Crutoy Pazan]

а в центральную клетку?

[venco]

Xenia1996 в сообщении #446916 писал(а):

А, ну конечно, как всегда!
Я написала в условии "переложить все камни", а надо было по одному с каждой крайней клетки. Например, если в одной крайней будет 5 камней, а в другой 6, то все не получится, один останется.

Тогда для нечётных $n$ можно, а для чётных нельзя.

[Xenia1996]

venco в сообщении #446940 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #446916 писал(а):

А, ну конечно, как всегда!
Я написала в условии "переложить все камни", а надо было по одному с каждой крайней клетки. Например, если в одной крайней будет 5 камней, а в другой 6, то все не получится, один останется.

Тогда для нечётных $n$ можно, а для чётных нельзя.

Ну, это правильно.
Но гораздо интереснее объяснить почему

[venco]

Xenia1996 в сообщении #446950 писал(а):

Но гораздо интереснее объяснить почему

Результат может быть только на пересечении диагоналей, т.е. $n$ должно быть нечётным. Осталось придумать подходящий алгоритм.
Можно начать с преобразования последовательности из нечётного числа единиц в $0,2,1...1,2,0$, ну и так далее...

[Xenia1996]

venco в сообщении #446960 писал(а):

Результат может быть только на пересечении диагоналей, т.е. $n$ должно быть нечётным.

А у меня другие соображения были (арифметическая прогрессия).
Пронумеруем все клетки от 1 до $n^2$. В начале игры сумма всех клеток, на которых лежат камни будет равна $n^2(\frac{n^2}{2}+\frac{1}{2})$, и эта сумма инвариантна относительно разрешённых ходов.