Мера и интеграл Лебега, неизмеримые функции

[Kuzi]

Может кто сталкивался с неизмеримой на отрезке [0,1] функцией, модуль которой измеримая функция...?

[Gortaur]

Берите неизмеримое $A\subset [0,1]$, тогда Ваша функция будет $1$ на $A$ и $-1$ на остальном множестве.

[Kuzi]

Спасибо! А какое множество можно взять в качестве неизмеримого множества A содержащегося в отрезке? вообще из знакомых большинству функции какую можно рассмотреть?

[Gortaur]

Думаю, можно взять классический пример с неизмеримым множеством на окружности и перенести его на отрезок.

[Kuzi]

К сожалению у нас не было классического примера...в интернете есть пример Витали, но нам запретили им пользоваться...(((

[ewert]

Kuzi в сообщении #446712 писал(а):

в интернете есть пример Витали, но нам запретили им пользоваться...(((

Никакого принципиально более простого примера построить невозможно.

[Kuzi]

Большое спасибо!
Странно...
А если всё же взять за основу Витали, то можно взять половину единичной окружности и рассматривать её отрезке от [0,pi] т.е [0,1] ? я не очень понимаю каким образом можно окружность перенести на отрезок. Если вам не трудно, напишите, хотя бы начало или суть метода...

Ещё один глупый вопрос
А Могу ли я рассматривать окружность не единичного радиуса? а например радиуса 1/2 на отрезке [0,1]?

[ewert]

Kuzi в сообщении #446727 писал(а):

я не очень понимаю каким образом можно окружность перенести на отрезок

Просто разрезать её. Т.е. отождествить окружность с промежутком $[0;1)$, а добавление одной точки на измеримость всё равно никак не повлияет.

[Kuzi]

т.е. пример Витали можно применять и по отношению к полуокружности?
а можно рассмотреть окружность радиуса 1/2 на отрезке [0,1] ? по аналогии с Витали, она будет являться примером неизмеримой функции?
а как быть с модулем?

[ИСН]

Kuzi, Ваша настойчивость в отношении окружности, право же, напоминает тот анекдот, в котором узбек, побывавший в зоопарке, описывал жирафа, слона и удава через посредство ишака. Окружность - не функция. И не на отрезке.

[Kuzi]

да я знаю, что окружность не функция, но полуокружность уже функция... но задание такое привести пример неизмеримой функции на отрезке [0,1], где ж её взять то тогда............... я не знаю как делать... вот и ищу помощи тут...

[Dan B-Yallay]

Kuzi в сообщении #446750 писал(а):

да я знаю, что окружность не функция, но полуокружность уже функция...

Жжете. Пишите еще.

[Gortaur]

Зря вы придираетесь к человеку. Он волнуется, что окружность нельзя отобразить обратно на $[0,1]$, т.к. она не является графиком функции одной переменной (потому что неоднозначна по крайней мере в каждой точке, кроме двух) - а вот полуокружность можно, потому что однозначность соблюдена и можно спроецировать.

Что же до других отображений - зачем все так усложнять, если и с полуокружностью прокатит.

[Kuzi]

Очень смешно! Да я неправильно выразился!
Окружность не прокатит т.к. нельзя Витали использовать(

[Gortaur]

Насчет модуля я Вам написал - Ваша задача теперь - найти неизмеримое множество и применить мою функцию с -1 и 1. Просто скажите, что $A$ - любое неизмеримое множество. Такое точно есть. Например, Витали. Если нельзя Витали, то:

1) откуда такая информация, в постановке задачи написано? Тогда Ваша задача переходит в разряд "постройте неизмеримое множество, не похожее на множество Витали", что вполне себе нетривиально.

2) почему нельзя использовать?

3) прокатит ли просто некоторое неизмеримое множество?