Мера и интеграл Лебега, неизмеримые функции

[Kuzi]

Задача звучит таким образом
Привести пример неизмеримой функции, заданной на отрезке [0,1] модуль которой измеримая функция.но нам дали указания, подумать) и Витали использовать совсем в крайнем случае...
Значит функция измерима если множество на котором она задана измеримо. я понял, что моя проблема предъявить неизмеримое множество и доказать, что оно неизмеримо...
Я понимаю, что в качестве множества А я могу предъявить множество Витали и тогда задача будет тривиальной, но думаю, что такую задачу мне не засчитают(

[ИСН]

Ну дак постройте "такое же" множество на отрезке, только через рациональные числа.

[Kuzi]

Значит я беру этот отрезок, все точки отрезка разбиваю на классы в 1 класс те точки разность между которыми рациональное число . далее выбираю по 1ому представителю из каждого класса полученное множество обозначаю А оно и есть не измеримое?

[ИСН]

Ымянно!

[Kuzi]

Спасибо большое!
Получается f(x) = 1 если x принадлежит множеству A, и равно -1 в остальных случаях? как писал Gortaur
Каким образом будет измерим модуль этой функции?

[ИСН]

Модуль этой функции - какая-то другая функция. Какая? Чему она равна?

[Gortaur]

Здесь было написано решение. Забыл, т.к. классов счетное число - почему меру-то нельзя построить??

[ИСН]

С чего вдруг счётное-то?

[Gortaur]

Надеюсь, он не видел. Так я забыл, чем это мешает нам построить меру?

[Kuzi]

Хватит надо мной издеваться, я знаю что модуль этой функции 1 всегда константа, и что константа измерима.. я о том надо ли ещё что-то рассматривать и доказывать, относительно того что модуль измерим...

[Dan B-Yallay]

Kuzi в сообщении #446849 писал(а):

Задача звучит таким образом
Привести пример неизмеримой функции, заданной на отрезке [0,1] модуль которой измеримая функция.но нам дали указания, подумать) и Витали использовать совсем в крайнем случае...
Значит функция измерима если множество на котором она задана измеримо. я понял, что моя проблема предъявить неизмеримое множество и доказать, что оно неизмеримо...
Я понимаю, что в качестве множества А я могу предъявить множество Витали и тогда задача будет тривиальной, но думаю, что такую задачу мне не засчитают(

Выделенное мной - неверно.

[Kuzi]

Функция называется измеримой, если множество E измеримо и при любом вещественном например а множество (f>a) измеримо... так устроит?
мне было лень набирать всё определение...

-- Вт май 17, 2011 21:26:47 --

Просветите дурака что нам мешает, я опять не понимаю где у меня ошибка?

[Dan B-Yallay]

Kuzi в сообщении #446883 писал(а):

Функция называется измеримой, если множество E измеримо и при любом вещественном например а множество (f>a) измеримо... так устроит?
мне было лень набирать всё определение...

Так устроит.

Цитата:

Просветите дурака что нам мешает, я опять не понимаю где у меня ошибка?

B построенном Вами же примере неизмеримая функция определена на измеримом множестве $[0,1]$.
Понятно?
Сравните с таким "определением": Fункция непрерывна, если она определена на непрерывном участке прямой.

[Kuzi]

а Как же множество А?
Привести пример неизмеримой функции, заданной на отрезке [0,1] модуль которой измеримая функция.
я сам не понимаю каким образом я должен на измеримом множестве строить неизмеримую функцию..

-- Вт май 17, 2011 21:49:43 --

Вообще объясните мне пожалуйста эта задача в таком виде Привести пример неизмеримой функции, заданной на отрезке [0,1] модуль которой измеримая функция. корректно задана?

[Dan B-Yallay]

Вы в измеримом множестве $A$ выбираете неизмеримое подмножество $S$ и определяете $f$ по-разному на $S$ и на $A / S $ . После чего функция определенная таким образом становится неизмеримой, согласно правильного определения.

Да, задача поставлена корректно.