4-Dimensional Black Holes from Kaluza-Klein Theories

[Bulinator]

Просьба участникам форума провести семинар(проследить за моими рассуждениями и прокомментировать) на тему статьи P. Breitenlohner, D. Maison and G. Gibbons, "4-Dimensional Black Holes from Kaluza-Klein Theories",Commun. Math. Phys. 120, 295-333 (1988).

Начну с Appendix A, где они описывают нелинейные $\sigma$-модели.

Цитата:

Let $G$ be a non-compact real form of some compact Lie group.

Повторю рассуждения из этой темы. (Спасибо type2b)
Имеется ввиду следующее. Пусть имеется некоторая компактная группа Ли над полем $\mathbb{R}$. Рассматриваем ее расширение на комплексное поле, которое не является компактным(теорема, доказано).
Комплексную группу Ли можно сужать до вещесественной многими способами. Тут, насколько я понимаю, они получатся либо изоморфными либо нет(связано ли кол-во неизоморфных "сужений" с размерностью или какой-нибудь другой характеристикой группы? ). И вот из всех суженных групп только одна является компактной(исходная группа). Остальные же некомпактны. Берем любую из них.

Мне кто-то как-то намекнул, что это то-же самое, что поменять сигнатуру в группе но я та и не понял что он имел вииду. Ведь говоря о групповом многообразии мы имеем ввиду топологическое пространство и не фиксируем метрику.

Цитата:

There is an involutive automorphism $\tau:G\to G, \tau^2= 1$ such that

$$H=\{h\in G:\tau(h)=h\}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(A.1)$$

is the maximal compact subgroup of $G$ and the coset space $G/H$ is a non-compact Riemannian symmetric space [30, 31, 56].

type2b полагает(а мне делать нечего, как с ним соглашаться), что имеется ввиду автоморфизм Картана(о нем мы поговорим, когда я созрею, с вашего позволения). Вот только во всех ресурсах с ключевыми словами автоморфизм Картана и базис Картана-Вейля говориться об аглебрах а не о группах Ли. Т.к. алгебра Ли является разложением группы у единицы, то тут, видимо, нет ничего страшного(или есть)?

Идем дальше

Цитата:

In order to parametrize the coset space $G/H$ we can choose a group element $P$ as representative of each coset, i.e. introduce fields $P(x)$,

$$P:\Sigma\ni x\to P(x)\in G\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(A.2)$$

Customarily, $G/H$ denotes the space of left cosets gH. For purely historical reasons we use the space of right cosets which is sometimes denoted by $G\backslash H$. As these two spaces are isomorphic we prefer the notation $G/H$.

Тут понятно, чтобы параметризовать факторгруппу, он берет по одному представителю из каждого класса смежности и ставит ему в соотвтетствие точку какого-то топологического пространства $\Sigma$(которое, видимо, будет нашим пространством).

Продолжение следует...

[Bulinator]

Цитата:

The choice (A.2) of representatives is obviously not unique and the freedom to choose representatives leads to a gauge invariance with gauge group $H$, in addition to the group action of $G$ on $G/H$,

$$P(x)\to h(x)P(x)g^{-1}, \quad h(x)\in H,\quad g\in G\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(A.3)$$

Понятно, что выбор этих представителей неединственен. Понятно, так же, что множество элементов в классе смежности изморфно подгруппе $H$(по определению). Это будет соответствовать каллибровочной симметрии в теории которую они будут строить далее.

Почему in addition к групповому действию пока не понятно. Видимо, станет ясно ниже. Или я не понял .
Последняя формула утверждает следующее: они выбирают какое-то(любое )отображение $h:\Sigma\to H$ и утверждают, что такое измененение полей будет симметрией теории.

[Kallikanzarid]

Bulinator в сообщении #445844 писал(а):

Тут понятно, чтобы параметризовать факторгруппу, он берет по одному представителю из каждого класса смежности и ставит ему в соотвтетствие точку какого-то топологического пространства $\Sigma$(которое, видимо, будет нашим пространством).

Вы уверены, что $G/H$ - это факторгруппа, а не просто однородное пространство? Также, скорее всего $\Sigma$ - гладкое многообразие, а не просто топологическое пространство (у нас ведь группа Ли!) Кстати, что там за метрика? Произвольная лево- или правоинвариантная или Киллинга?

Bulinator в сообщении #445862 писал(а):

Почему in addition к групповому действию пока не понятно.

Видимо имеется ввиду то, что $G$ действует на $G \backslash H$ автодиффеоморфизмами (к тому же, наверное еще и сохраняющими метрику), т.е. имеет место симметрия :)

Bulinator в сообщении #445862 писал(а):

Последняя формула утверждает следующее: они выбирают какое-то(любое )отображение $h:\Sigma\to H$

Как я понимаю, через $h(x)$ они обозначают произвольный элемент из $H$, имея ввиду то, что домножение правого класса сопряженности группы $H$ на элемент из $H$ слева не меняет класс сопряженности. Таким образом формула (А3) - суть общий вид интересующей нас группы симметрии.

[type2b]

Про инволюцию Картана годится только для split real form, как я говорил. В общем случае это другой какой-то автоморфизм, который определяется тем, что действует единицей на компактной подалгебре и минус единицей на ее ортогональном дополнении. В представлениях это будет что-нибудь типа $\tau(g)=g^{\dagger-1}$ для группы и $\tau(A)=-A^\dagger$ для алгебры. На Вашем месте я не стал бы на этом зацикливаться. Ну автоморфизм какой-то, выделяющий компактную подгруппу -- и ладно. Статья длинная, так Вы до пенсии ее не разберете.

Как правильно выше сказали, $G/H$ как правило не будет группой.

$P(x)$ -- отображение из $\Sigma$ в $G/H$, если профакторизовать по $P(x)\sim h(x)P(x)$. При этом есть еще глобальная симметрия, происходящая из правого действия группы по себе $P(x)\to P(x)g$. Это стандартные факты про калиброванные $\sigma$-модели.

[Bulinator]

Kallikanzarid, type2b,
спасибо за комментарии.

(Оффтоп)

Прошу прощения за то, что долго отсутствовал. Был занят решением бюрократических проблем.

Итак, пошли дальше.

Цитата:

The field equation for $P$(and the action) are invariant under the action of both $G$ and $H$. Because of this gauge invariance the true dynamical variables have their values in coset space $G/H$.

Непонятно с чего бы это. Если $P$ (ну или действие) инвариантно относительно действия элементов группы $G$, тогда инвариантность относительно подгруппы $H$ должна быть очевидна.

Цитата:

We can eliminate the gauge group $H$ by choosing one standard representative for each coset. We willl obtain a particularly simple parametrization of $G/H$[57] if we choose a solvable subgroup(represented by matrices "triangular" in the sense of the Iwasawa decomposition[30]) which intersects each coset once. Given such a choice(or any other one) the action (A.3) of a $g\in G$ will lead to non-standard representatives and must therefore be accompanied by an induced gauge transformation $h(P(x),g)$(depending in general non-linearly on $P$ and $g$) in order to maintain the gauge choice

$$P(x)\to h(P(x),g)P(x)g^{-1},\quad g\in G\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(A.3')$$

no comment...

[Bulinator]

Цитата:

In order to construct the metric $\gamma_{ij}$ we consider 1-form $dP(x)P(x)^{-1}$ with value in the Lie algebra ${\cal G}$ of $G$ and its decomposition

$$dPP^{-1}=\left({\cal A}_a+{\cal F}_a\right)dx^a,\quad \begin{array}{ll}\tau({\cal A})={\cal A}\\ \tau({\cal F})=-{\cal F} \end{array}\qquad\qquad\qquad(A.4)$$

Тут ${\cal A}$, видимо, соответствует подгруппе $H$ а ${\cal F}$-его ортогональному дополнению. Второе выражение соответствует автоморфизму (A.1).
1-форма $dP(x)P(x)^{-1}$ - правоинвариантная 1-форма относительно действия (под)группы $H$.

[Bulinator]

Цитата:

The transformation laws [induced by (A.3)] for ${\cal A}$ and ${\cal F}$ are

$$\begin{array}{ll}{\cal A}=\frac{1}{2}\left(dPP^{-1}+\tau(dPP^{-1})\right)\to h{\cal A}h^{-1}+dh h^{-1}\\ {\cal F}=\frac{1}{2}\left(dPP^{-1}-\tau(dPP^{-1})\right) \to h{\cal F}h^{-1}\end{array},\qquad\qquad\qquad\qquad(A.5)$$

i.e. ${\cal A}$ can be interpreted as connection for $H$ whereas $\cal F$ transforms $H$-covariantly and both are G-invariant.

Первое равенство получается следующим образом($g$ убиваются, так что их я выписывать не буду):
${\cal A}=\frac{1}{2}\left(dPP^{-1}+\tau(dPP^{-1})\right)\to \frac{1}{2}d(h P)P^{-1}h^{-1}+\frac{1}{2}\tau(d(hP)P^{-1}h^{-1})=\frac{1}{2}hdPP^{-1}h^{-1}+\frac{1}{2} dhh^{-1}+\frac{1}{2}\tau(hdPP^{-1}h^{-1}+dhh^{-1})$
Во втором равенстве $dhh^{-1}$ сокращаются. Кстати, а почему $dh\in {\cal H}$ или, что тоже самое, $\tau(dhh^{-1})=dhh^{-1}$? Тут ${\cal H}$ алгебра Ли $H$.

[Kallikanzarid]

Bulinator в сообщении #446731 писал(а):

Непонятно с чего бы это. Если $P$ (ну или действие) инвариантно относительно действия элементов группы $G$, тогда инвариантность относительно подгруппы $H$ должна быть очевидна.

Имеются ввиду определенные ранее действия (левое действие $H$ и правое действие $G$).

Bulinator в сообщении #446731 писал(а):

no comment...

Что-нибудь не понятно?

Bulinator в сообщении #446774 писал(а):

Второе выражение соответствует автоморфизму (A.1).
1-форма $dP(x)P(x)^{-1}$ - правоинвариантная 1-форма относительно действия (под)группы $H$.

Надо перепроверить: похоже, что получается правоинвариантное (1,1)-тензорное поле, но алгебра Ли группы Ли определяется как алгебра левоинвариантных векторных полей. Скорее всего тут я что-то недопонимаю.

[Bulinator]

Kallikanzarid в сообщении #446838 писал(а):

Имеются ввиду определенные ранее действия (левое действие $H$ и правое действие $G$).

Аааааааааааа.... Т.е. это что-то типа того, как получается электромагнитное поле из требования инвариантности относительно умножения в.ф. на $e^{\imath\alpha(x)}$. Т.е. у нас есть глобальная симметрия $G$ и локальная $H$. Правильно?

Kallikanzarid в сообщении #446838 писал(а):

Что-нибудь не понятно?

Просто тут пока комментировать нечего.

Kallikanzarid в сообщении #446838 писал(а):

Надо перепроверить: похоже, что получается правоинвариантное (1,1)-тензорное поле, но алгебра Ли группы Ли определяется как алгебра левоинвариантных векторных полей. Скорее всего тут я что-то недопонимаю.

Надеюсь, все станет ясно позже.

-- Ср май 18, 2011 14:54:00 --

Цитата:

Given any invariant scalar product $\langle\cdot,\cdot\rangle$ on ${\cal G}$ we can define an invariant metric $\gamma$ on $G/H$ by

$$d\phi^id\phi^j\gamma_{ij}(\phi)\equiv \langle{\cal F},{\cal F}\rangle.\qquad\qquad\qquad\qquad(A.6)$$

If $G$ is simple any such $\langle\cdot,\cdot\rangle$ is a (positive) multiple of the Killing metric and for each faithful representation $\rho:{\cal F}\to\hat{\cal F}\equiv\rho({\cal F})$ there is a (positive) constant $\hat{c}$ such that

$$\langle{\cal F},{\cal F}\rangle=\hat{c}Tr(\hat{\cal F},\hat{\cal F}).\qquad\qquad\qquad\qquad(A.7)$$

Note that the scalar product $\langle\cdot,\cdot\rangle$ on ${\cal G}$ is indefinite but the metric $\gamma$ on $G/H$ is (positive) definite.

Тут они из инвариантного(относительно действия самой группы) скаляра строят инвариантную(индуцированную) метрику на $G/H$. $\phi$-координаты многообразия $G/H$.
Если алгебра ${\cal G}$ проста(т.е. если ее присоединенное представление неприводимо) то любая метрика кратна метрике(форме) Киллинга.

[Bulinator]

(Оффтоп)

В теге quote фромулы смотрятся красиво