Не получается решить задачу с кубом (ЕГЭ-С2)

[Liiko]

К диагонали А1С куба ABCDA1В1С1D1 провели перпендикуляр из середины ребер AB и AD. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Незнаю как доказать что перпендикуляры совпадают в одной точке и как дальше найти угол...блин, оценка зависит от этой задачи.


Спасибо.

[ewert]

Это -- угол между плоскостями $ABC_1$ и $ADC_1$. Он равен углу между пересечениями этих плоскостей с любой плоскостью, перпендикулярной диагонали $AC_1$. Проще всего взять плоскость, проходящую через середину диагонали -- тогда сечением куба окажется правильный шестиугольник, и ответ станет очевидным.

[Liiko]

Ээ что-то ничего не очевидно)) у меня 10 класс, это ЕГЭ С2, мы такими способами никогда не решали.

[ИСН]

Ну, перепишите всё в терминах координат и векторов. Знаете, как найти угол между векторами?

[Liiko]

Мм...мы такое тоже не проходили.

[ewert]

Liiko в сообщении #446680 писал(а):

это ЕГЭ С2, мы такими способами никогда не решали.

Задачка как раз на С2. Для таких задачек обычно есть минимум два способа -- тупой и разумный. Разумный -- это тот, который я привёл.

Ну а тупо можно поступить, скажем, так. Рассмотрите равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются те перпендикуляры. Основание этого треугольника, надеюсь, очевидно. А чтобы найти боковую сторону (т.е. длину перпендикуляра), взгляните на треугольник $ABC_1$ (он прямоугольный), в котором тот перпендикуляр лежит. Там из подобия треугольников тоже всё достаточно ясно.

[ИСН]

Повернём куб вокруг большой диагонали - точки B, D и A1 перейдут друг в друга...
Впрочем, скорее всего, так тоже нельзя, и остаётся чудовищная по сложности конструкция ewert'a. Я такое ниасилил и уже думал было, что Вашими способами задача нерешаема.

[Liiko]

Какой треугольник? Вот мой чертеж, нам же еще доказать нужно что перпендикуляры совпадут в одной точке?

[ewert]

ИСН в сообщении #446694 писал(а):

чудовищная по сложности конструкция ewert'a.

Которая из двух?

Первая требует лишь элементарного пространственного воображения (но стереометрию и изучают в первую очередь именно для его развития).

Вторая -- да, очень трудна. На решение понадобится, наверное, минуты три; а может, даже и пять.

[Liiko]

Такой должен быть чертеж или я чего-то не поняла?

[ewert]

Liiko в сообщении #446699 писал(а):

Блин, какой треугольник?

А, пардон, я перепутал диагонали -- почему-то решил, что речь про $AC_1$. Но всё равно: вполне очевидно, что треугольник $A_1KC$ -- равнобедренный, а $KK_1$ -- его высота, откуда всё легко находится. С другой стороны, можно ничего и не считать: поскольку $K_1=O_1$ -- середина диагонали, сечение куба плоскостью $OKK_1$ будет опять же правильным шестиугольником, и ответ опять же очевиден.

[Liiko]

ewert в сообщении #446710 писал(а):

Liiko в сообщении #446699 писал(а):

Блин, какой треугольник?

вполне очевидно, что треугольник $A_1KC$ -- равнобедренный, а $KK_1$ -- его высота, откуда всё легко находится.

А зачем тогда давали $OO_1$?

Чтобы рассмотреть угол между перпендикулярами нужно чтобы они пересекались в общей точке. Тогда они пересекаются в точке $0_1$ . Достраиваем треугольник $OKO_1$ так? если так то как найти его угол вообще не понимаю.

[ewert]

Liiko в сообщении #446714 писал(а):

как найти его угол вообще не понимаю.

Найти его стороны. Читайте внимательнее.

[Liiko]

Я могу найти стороны, если мне известно хоть что нибудь, а мне известен только угол 90 градусов.(чертеж выше)

[ewert]

Liiko в сообщении #446718 писал(а):

Я могу найти стороны, если мне известно хоть что нибудь

Вы можете найти любые отрезки, какие заблагорассудится, если введёте обозначение $a$ для стороны куба -- она потом всё равно сократится, поскольку ответ от неё зависеть не может. Чтоб не мучиться, проще сразу задать $a=1$ или $a=2$.