Помогите найти примеры к теме "Перестановки в условно сходя"

[Tanysha_198921]

Кроме примера с рядом (1 - 1/2 )+ ( 1/3- 1/4)+ …+ ( 1/(2k-1)- 1/2k)+⋯ ,
ничего не могу найти...Пробовала взять любой условно сходящийся ряд,любое число и составить новый ряд, как это делается в доказательстве теоремы Римана..не получается...Подскажите как правильно это сделать?И какие взять примеры?

[svv]

topic44895.html

[Tanysha_198921]

*****
+1
-1
+1/2
-1/2
+1/2
-1/2
+1/4
-1/4
(это повторить 4 раза)
+1/8
-1/8
(это повторить 8 раз)
...
Такой переставлять гораздо приятнее, не правда ли? И сходимость очевидна. И расходимость, когда переставили, тоже.
*******************************
Сходимость этого ряда мне очевидна, а вот с расходимостью при перестановке ...Не могли бы вы мне объяснить?


С рядом, сумма которого равна ln a, у меня перестановки получились...
Мне бы ещё несколько примеров...

[svv]

Tanysha_198921 писал(а):

Сходимость этого ряда мне очевидна, а вот с расходимостью при перестановке ...Не могли бы вы мне объяснить?

У нас два списка:
отрицательных слагаемых $-1, -1/2, -1/2, -1/4, -1/4, -1/4, -1/4, -1/8, -1/8, -1/8, -1/8, -1/8, -1/8, -1/8, -1/8, ...$
положительных слагаемых $+1, +1/2, +1/2, +1/4, +1/4, +1/4, +1/4, +1/8, +1/8, +1/8, +1/8, +1/8, +1/8, +1/8, +1/8, ...$

Набираем группу по таким правилам. В группу берем одно (очередное) отрицательное слагаемое, а потом столько (очередных) положительных, чтобы сумма этой группы стала $\geqslant 1$ (это всегда возможно). Взятые слагаемые вычеркиваем из списка. Затем набираем следующую группу:

$$\left(-1+1+\frac 1 2+\frac 1 2\right)+\left(-\frac 1 2+\frac 1 4+\frac 1 4+\frac 1 4+\frac 1 4+\frac 1 8+\frac 1 8+\frac 1 8+\frac 1 8\right)+\left(-\frac 1 2+\frac 1 8+\frac 1 8+\frac 1 8+\frac 1 8+16 \cdot \frac 1 {16}\right)+...$$

А еще проще так:

$$\left(-1 +1+2\cdot\frac 1 2 \right) + \left(-2\cdot\frac 1 2 +4\cdot\frac 1 4 + 8\cdot\frac 1 8\right) + \left(-4\cdot \frac 1 4+ 16 \cdot\frac 1 {16} + 32\cdot\frac 1 {32}\right)+...$$

Ясно, что так составленные ряды расходятся, так как каждая группа не меньше $1$.

[ewert]

С расходимостью всё гораздо проще: складываем один, потом минус один, потом все половинки, потом все минус половинки, все плюс четвертинки, все минус четвертинки... В конце концов выходит, что мы складываем по очереди просто-напросто плюс-минус единички.

Только

Tanysha_198921 в сообщении #446394 писал(а):

взять любой условно сходящийся ряд,любое число

означает, что надо было подобрать подходящую перестановку для получения любой суммы. Это -- в любом смысле унылая морока. Хотя с этим рядом, наверное, можно как-то выкрутиться, используя двоичное разложение суммы; только смысла никакого.

[Tanysha_198921]

Спасибо))С расходимостью всё понятно))

-- Пн май 16, 2011 18:59:55 --

Скажите, пожалуйста, а сумму ряда
1-1/√2+1/√3-…+(-1)^(n+1) * 1/sqrt(n)+⋯
можно представить как
1-1/√2+1/√3-…+(-1)^(n+1) * 1/sqrt(n)+⋯ =2*sqrt(n)+C+a
где С есть эйлерова постоянная, а а - бесконечно малая???

А потом вычислять по той же схеме, что и для ряда
(1 - 1/2 )+ ( 1/3- 1/4)+ …
?
Этот же ряд сходится по признаку Лейбница?

[ИСН]

Сумма этого ряда - никакой не $\sqrt n$, а конечное число, потому что этот ряд сходится по пр...

[Tanysha_198921]

Ой, извините))
Хотела спросить, можно ли найти частичную сумму Sn этого ряда
Sn=1-1/√2+1/√3-…+(-1)^(n+1) * 1/sqrt(n)=2*sqrt(n)+C+a
по этой формуле?

[ИСН]

(Оффтоп)

(да понял я, понял, откуда это растёт, но - - -)

Разумеется, можно, ведь через a мы можем обозначить что угодно.
Частичные суммы этого ряда не похожи на $\sqrt n$, а похожи на конечное число, потому что этот ряд обладает удивительным, редкостным свойством: он сходится к конечному числу. Сходится, понимаете?

[Tanysha_198921]

Да-да=)не ту сумму записала)
Sn=1+1/√2+1/√3+…+ 1/sqrt(n)=2*sqrt(n)+C+a
А для такого ряда частичная сумма может равняться этому числу?

[ИСН]

Ну, я не вижу никаких причин, чтобы C имело какое-то отношение к константе Эйлера, а в остальном да.

[Tanysha_198921]

А что такое С ?

[ИСН]

C - это некое конечное число, определяемое как $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+{1\over\sqrt2}+{1\over\sqrt3}+...+{1\over\sqrt n}-2\sqrt n\right)$.

[Tanysha_198921]

Отсюда мы можем сделать вывод, что
1/√2+ 1/√4+ …+1/sqrt(2m)=1/sqrt(2 Sm)=1/√2 *(2√m)+ 1/√2 *C+ 1/√2 *γm
a для ряда
1+1/√3+ …+1/sqrt(2k-1)=S_2k- 1/√2 *S_k= √2k+C(1-1/√2)+γ_2k-1/√2 γ_k
правильно же?

-- Пн май 16, 2011 22:21:04 --

Расположим теперь члены ряда
1-1/√2+1/√3-…+(-1)^(n+1) * 1/sqrt(n)+⋯
в таком порядке: сначала поместим p положительных и q отрицательных, потом снова p положительных и q отрицательных и т.д.
Сумма полученного ряда А'=P'-Q'
A=sqrt(2p)+C(1-1/√2)+γ_2p-1/√2* γ_p- sqrt(2q)-1/√2* C- 1/√2 *γ_q=
=√2 (√p-√q)+C(1-√2)+α_n
Дошла до сюда...Подскажите, к какому пределу стремится эта сумма при n стремящемся к бесконечности, а число С=$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+{1\over\sqrt2}+{1\over\sqrt3}+...+{1\over\sqrt n}-2\sqrt n\right)$.?