сопряженное пространство

[Oleg Zubelevich]

Пусть $T$ --произвольное множество. Пространство $X=\mathbb{R}^T$ снабжено тихоновской топологией.

Доказать, что пространство $X'$ состоит из конечных линейных комбинаций вида

$$\sum_{k=1}^n\delta_{x_k},\qquad x_k\in T,\quad \delta_xf=f(x).$$

[Хорхе]

Фраза "линейных комбинаций" кагбе намекает, что там еще какие-то коэффициенты должны быть?

А вообще оно кажется очевидным одному мне?

[Oleg Zubelevich]

да, конечно, имелось ввиду
$\sum_{k=1}^nc_k\delta_{x_k},\qquad c_k\in\mathbb{R}.$$[/quote]

Хорхе в сообщении #446461 писал(а):

А вообще оно кажется очевидным одному мне?

я не говорю, что задача сложная, я тут сложные пробовал выкладывать, чтож Вы не решали?

[Padawan]

Если $u\in X'$, то $|u(f)|\leqslant p(f)$, где $p$ -- какая-либо полунорма на $X$. Отсюда следует, что $u(f)=0$ , если $f=0$ в точках некоторого конечного множества.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #446470 писал(а):

Если $u\in X'$, то $|u(f)|\leqslant p(f)$, где $p$ -- какая-либо полунорма на $X$

всетаки не какая-либо, а зависящая от $u$

[Хорхе]

Из непрерывности легко заключаем, что $u(\mathbf{1}_{\{x\}})\neq 0$ лишь для конечного числа $x$. Далее из непрерывности же легко заключаем, что $u$ имеет указанную форму. Не знаю (честно говоря, и не думал), можно ли заменить два рассуждения "из непрерывности" одним.