Прасолов, Геометрия, стр. 109

[Бабай]

Народ, объясните пожалуйста - это книга глючит или моё воображение заболело.

На выше указанной странице доказывается неравенство треугольника на сфере $\mathbb{S}^2$. Это делается, чтобы показать, что большие окружности есть геодезические. Вот как это делается:

Цитата:

Рассмотрим кратчайшие дуги больших окружностей, соединяющих точки $A$ и $B$, $B$ и $C$, $C$ и $A$; тогда сумма длин первых двух дуг не меньше длины третьей дуги. А так как длина дуги $AB$ равна $R \gamma$, приходим к новой эквивалентной формулировке: сумма двух плоских углов трёхгранного угла не меньше третьего плоского угла. Докажем это утверждение для невырожденного трёхгранного угла.

Теорема 1: Для любого трёхгранного угла $OABC$ с вершиной $O$ выполняется неравенство $\angle AOC < \angle AOB + \angle BOC$.

Док-во: Достаточно рассмотреть случай, когда угол $AOC$ наибольший. В этом случае внутри угла $AOC$ можно выбрать точку $B_1$ так, что $\angle AOB_1 = \angle AOB$ и $|OB_1|=|OB|$. Проведём через точку $B_1$ отрезок с концами на лучах $OA$ и $OC$; можно считать, что $A$ и $C$ - концы этого отрезка. ...

Дописывать (пока) не буду, так как уже здесь не могу представить, как это возможно провести такой отрезок и одновременно считать, что выделенное мною в тексте обстоятельство действительно имеет место.

[ewert]

Бабай в сообщении #446031 писал(а):

Дописывать (пока) не буду,

Лучше всё-таки дописать, поскольку непонятно, в какую сторону он дальше собирается выкручиваться. Если буквы $A,B,C$ -- те же, что в первом абзаце, то такое действительно невозможно. Но вполне может быть и так, что в теореме он понимает под этими точками не точки на сфере, а просто любые точки в пространстве, задающие некоторый трёхгранный угол. Тогда -- да, можно.

[Бабай]

Спасибо, ewert, за столь быстрый ответ. Дописываю цитату:

Цитата:

Из равенства треугольников $AOB$ и $AOB_1$ следует, что $|AB|=|AB_1|$. Кроме того, $|AB_1|+|B_1C|=|AC|<|AB|+|BC|$, поэтому $|B_1C|<|BC|$. Из теоремы косинусов следует, что при постоянных длинах сторон $BO$ и $OC$ длина стороны $BC$ монотонно возрастает с возрастанием угла $BOC$. Следовательно, $\angle B_1OC<\angle BOC$, а значит, $\angle AOC = \angle AOB_1+\angle B_1OC<\angle AOB + \angle BOC$

[ewert]

Ну всё правильно. Он действительно не имел в виду точки на сфере. Только нехорошо, что специально этого не оговорил, да и слова "можно считать, что" несколько небрежны.

[Бабай]

Да, теперь вижу…ну хоть бы штрихи поставил ($A',C'$), начиная с "можно считать", а то так думай, что хочешь.

Но мне всё равно немного непонятно, каков здесь вообще смысл употребления теоремы косинусов. Ведь она используется для треугольника $BOC'$ (т.е. в обозначениях автора $BOC$), и до этого надо же уже увидеть, что нижняя грань значений угла $BOC'$ есть угол $B_1OC'$, потому что трёхгранный угол $OB_1BC'$ вырождается в тот самый $B_1OC'$, если $B$ начать совмещать с $B_1$, идя по кратчайшему расстоянию между этими точками на сфере.

[ewert]

Бабай в сообщении #446065 писал(а):

Ведь она используется для треугольника $BOC'$ (т.е. в обозначениях автора $BOC$),

Это -- ещё одна небрежность автора. Ему следовало сказать что-нибудь типа: "$|BC|<|B'C|$, в то время как две другие стороны треугольников $BOC$ и $B'OC$ попарно совпадают. Следовательно, по теореме косинусов...". Ну или какими-то иными словами; но упомянуть в этом месте оба треугольника было нужно. Но -- то ли поленился, то ли бумагу решил сэкономить...

[Бабай]

Извините, ewert, что-то не уловил…а что за точка $B'$ ?

[ewert]

Пардон, она у Прасолова $B_1$. Забыл на лету, как конкретно он её обозначал.

[TOTAL]

Цитата:

Теорема 1: Для любого трёхгранного угла $OABC$ с вершиной $O$ выполняется неравенство $\angle AOC < \angle AOB + \angle BOC$.

Засунем внутрь трёхгранного угла шарик. Этот шарик касается граней $AOB, BOC, COA$ в точках $T_{\scriptscriptstyle AB}, T_{\scriptscriptstyle BC}, T_{\scriptscriptstyle CA}$ соответственно. Утверждение теоремы сразу следует из очевидных равенств

$\angle AOT_{\scriptscriptstyle AB}=\angle AOT_{\scriptscriptstyle AC}$
$\angle BOT_{\scriptscriptstyle BC}=\angle BOT_{\scriptscriptstyle AB}$
$\angle COT_{\scriptscriptstyle CA}=\angle COT_{\scriptscriptstyle BC}$

[ewert]

TOTAL в сообщении #446304 писал(а):

Засунем внутрь трёхгранного угла шарик.

То, что его можно "засунуть" -- тоже нуждается в формальном обосновании.

Проще опустить перпендикуляр из точки $B$ на плоскость $AOC$ наибольшего из плоских углов, и тогда всё совсем уж ясно. Но и то, что основание перпендикуляра попадёт именно внутрь того угла -- тоже требует формального доказательства, как бы ни выглядело очевидным.

Мне тоже доказательство Прасолова эстетически не понравилось. Но, маленько поразмыслив, пришёл к выводу, что в любом варианте без того или иного занудства не обойтись. Ну вот ему именно его пришлось по душе.

[TOTAL]

ewert в сообщении #446327 писал(а):

TOTAL в сообщении #446304 писал(а):

Засунем внутрь трёхгранного угла шарик.

То, что его можно "засунуть" -- тоже нуждается в формальном обосновании.

Биссектрисы трёх двугранных углов пересекаются на одной прямой. На этой прямой и лежит центр шарика.

[ewert]

TOTAL в сообщении #446337 писал(а):

Биссектрисы трёх двугранных углов пересекаются на одной прямой.

И это тоже надо доказывать (собственно, это утверждение доказывается одновременно с предыдущим).

Я там ошибся: то, что основание проекции попадёт внутрь угла -- доказывать практически не надо (точнее, это будет получаться автоматически по ходу остального доказательства). Так что мой вариант, видимо, близок к оптимальному.

[TOTAL]

ewert в сообщении #446339 писал(а):

TOTAL в сообщении #446337 писал(а):

Биссектрисы трёх двугранных углов пересекаются на одной прямой.

И это тоже надо доказывать

Надо, чтобы что?

Что в любой тетраэдр можно вписать шар - тоже надо даказывать в данном случае?

[ewert]

Всё надо доказывать. Но главное -- что всё это слишком сильные утверждения; доказываемая теорема -- гораздо проще, и вполне может обойтись более элементарными соображениями. Скорее всего, Прасолов именно из этого и исходил, но с теоремой косинусов всё же перестарался.