Задачи по тензорной алгебре

[ewert]

caxap в сообщении #445170 писал(а):

полученное преобразование не то же, что переход к другому базису

Нет. И бог с ним, с базисом. Поскольку мы базис всё равно уже зафиксировали -- нам достаточно говорить только о матрицах как таковых и об их определителях. А для этого все средства
хороши, вот и метод Гаусса, и совершенно не имеет значения, какой операторный смысл имеют соответствующие преобразования.

caxap в сообщении #445170 писал(а):

где $A'$ -- верхняя треугольная,

Не верхняя треугольная, а верхняя блочно-треугольная.

[caxap]

Ясно. Осталась последняя задачка, которую я не решил:

1.5. Характеристический многочлен оператора $\mathscr A$ имеет (с учетом кратностей) $n$ корней $\lambda_1,...,\lambda_n$, а хар. мног. оператора $\mathscr B$ имеет $m$ корней $\mu_1,...,\mu_m$. Доказать, что хар. мног. $\mathscr A\otimes\mathscr B$ имеет $mn$ корней $\lambda_i\mu_j$ ($i\in\overline{1,n}$, $j\in\overline{1,m}$).

Мыслей нет совсем (Кстати, отсюда можно вывести доказать предыдущую задачу. Определитель -- это свободный член хар. многочлена, то есть в данном случае произведение всех его корней.)

-- 12 май 2011, 22:15 --

А может и в обратную сторону можно? Тогда мы знаем, что $\chi(0):=\chi_{\mathscr A\otimes\mathscr B}(0)=\lambda_1\cdots\lambda_n\cdot\mu_1\cdots \mu_m$.

Ещё, очевидно, $\operatorname{tr}\mathscr A\otimes\mathscr B=\operatorname{tr}\mathscr A\cdot\operatorname{tr}\mathscr B$. Отсюда находим коэффициент при $t^{mn-1}$ в $\chi(t)$: $\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot \sum_{j=1}^m \mu_j=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \lambda_i\mu_j$.

По-моему, этого мало.

[caxap]

Kallikanzarid в сообщении #445110 писал(а):

Можно воспользоваться равенством $A^* \omega = (\det A) \omega$ для любой формы $\omega \in \bigwedge^n V^*$.

Прочитал я про формы, но не нашёл ничего похожего на ваше тождество. Что такое $A^*$?

-------------------
У меня большая каша в голове. Надеюсь на вашу помощь.

Вопрос 1. Вот в учебнике сначала определяется симметрическая степень $\mathrm S_p(V)$ пространства $V$ (аналогично тому, как определялось тензорное произведение: то есть $p$-я симметрическая степень ВП $V$ -- это множество $S$ вместе с симметрическим $p$-линейным отображением $\lor$ такое, что если $(e_i)$ -- базис $V$, то $(e_{i_1}\lor ...\lor e_{i_p})$, $i_1\le ...\le i_p$ -- базис в $S$), затем объясняется про связь с многочленами (тут я вообще не понял, сейчас буду перечитывать по другим книгам) и потом рассматривается пространство $\mathrm{ST}_p(V)\subset\mathrm T_p(V):=\mathrm T^0_p(V)$ симметрических ковариантных тензоров. Я не понял: симметричная степень $\mathrm S_p(V)$ и пространство симметрических тензоров $\mathrm {ST}_p(V)$ -- это одно и тоже? Изоморфны?

Кососимметрический вариант аналогично. Сначала вводится внешняя степень $\Lambda^p(V)$ (так же как тензорное произведение и симметрическая степень, то есть как некоторое "универсальное" отображение, через которое можно пропустить любое другое, и его образ), а потом рассматривается подпространство кососимм. ков. тензоров $\Lambda\mathrm T_p(V)$. Это одно и тоже?

Вопрос 2.

$$\operatorname{Hom}(V_1\times ... \times V_p,W_1\times ...\times W_q)\simeq V_1^* \otimes ... \otimes V_p^*\otimes W_1\otimes ...\otimes W_q\quad ??$$

то есть можно ли перебрасывать члены слева направо, добавляя сопряжение, и, если слева ничего не остаётся, оставлять только правую часть. Слева (в произведении $V$) я заменил $\times$ на $\otimes$ по универсальному свойству. А можно ли то же сделать справа (в произведении $W$)?

(Если да,...)

то верно ли я понимаю, что $T^p_q(V)=\underbrace{V\otimes ... \otimes V}_p\otimes \underbrace{V^*\otimes ...\otimes V^*}_q$ это то же (с точностью до изоморфизма?), что пространство полилинейных функций, определённых на $q$ (!) экземплярах $V$ и $p$ (!) экземплярах $V^*$?

Просто я встречал по крайней мере три определения тензоров: как полилинейные отображения, элементы тензорного произведения и как массив чисел, который линейно преобразуется при смене базиса. В одной старой теме мне объяснили про связь первого и третьего и чем третий способ плох. В связи 1-го и 2-го я тогда не разобрался и хочу это сделать сейчас. Это одно и то же, да?

Вопрос 3. А что будет, если $V$ бесконечномерно? Можно ли тогда на нём сделать тензоры и все другие конструкции, которые делались в конечномерном случае?

Вопрос 4. Почему, когда говорят о симметрической или кососимметрической (= внешней) алгебре, оговаривают (Винберг, Кострикин), что характеристика поля нулевая? Что будет, если не ноль?

(Почему запрещают характеристику 2, я кажется понял)

Тогда из $a=-a$ не следует, что $a=0$, а, значит, если у кососимметрической функции будет два одинаковых аргумента, то это ещё не значит, что она равна нулю. Да?

[Kallikanzarid]

Цитата:

затем объясняется про связь с многочленами (тут я вообще не понял, сейчас буду перечитывать по другим книгам)

Харрис, "Алгебраическая геометрия, начальный курс", лекция 1:
"В этом месте необходимо сделать два замечания по поводу терминологии. Во-первых, стандартные координаты $Z_0, \ldots, Z_n$ на $K^{n+1}$ называются однородными координатами... однородные координаты на [проективном пространстве] $\mathbb{P}V$ суть элементы $V^*$, а пространство многочленов степени $d$ на $\mathbb{P}V$ естественно изоморфно векторному пространству $\mathrm{Sym}^d(V^*)$."
Идея в том, что многочлены порядка 1 на $V$ - суть линейные функционалы, а многочлены тогда становятся элементами симметрической алгебры.

Цитата:

затем объясняется про связь с многочленами (тут я вообще не понял, сейчас буду перечитывать по другим книгам) и потом рассматривается пространство $\mathrm{ST}_p(V)\subset\mathrm T_p(V):=\mathrm T^0_p(V)$ симметрических ковариантных тензоров. Я не понял: симметричная степень $\mathrm S_p(V)$ и пространство симметрических тензоров $\mathrm {ST}_p(V)$ -- это одно и тоже? Изоморфны?

НЕТ! Я сам задавал такой вопрос, вот то, что мне сказали: http://math.stackexchange.com/questions ... t-is-symdv
@Alexei: No, the main point is that the symmetric algebra are a quotient algebra of of the tensor algebra, while the symmetric tensors only form a subspace of the tensor algebra. The situation is quite analogous as with the (possibly) more familiar exterior algebra. – Theo Buehler May 2 at 16:31
@Alexei Averchenko In characteristic 0, there is a cannonical isomorphism of vector spaces between the symmetric tensors and the symmetric algebra. The symmetric tensors are not closed under multiplication, and so there isn't really multiplication for them (so you can't say the multiplications are different). However, in positive characteristic, you no longer have an isomorphism. You can see this because composing the natural map from Symd(V) to symmetric tensors (taking the sum of all rearangements) with the natural quotient map multiplies by d!. – Aaron May 2 at 16:36
Т.е. в характеристике 0 между пространством симметричных тензоров и симметрической алгеброй есть линейный изоморфизм, но об изоморфизме алгебр здесь говорить не приходится. В других характеристиках нет даже этого.

Надо бы собраться с силами и доказать, но пока как-то лень

caxap в сообщении #446137 писал(а):

Вопрос 2.

$$\operatorname{Hom}(V_1\times ... \times V_p,W_1\times ...\times W_q)\simeq V_1^* \otimes ... \otimes V_p^*\otimes W_1\otimes ...\otimes W_q\quad ??$$

то есть можно ли перебрасывать члены слева направо, добавляя сопряжение, и, если слева ничего не остаётся, оставлять только правую часть. Слева (в произведении $V$) я заменил $\times$ на $\otimes$ по универсальному свойству. А можно ли то же сделать справа (в произведении $W$)?

Нет. Выполняется такой изоморфизм:

$$L^p(V_1, \ldots, V_p; W) \cong W \otimes \bigotimes_{i = 1}^p V_i.$$

Отличий два:
1) Все-таки тут p-линейные отображения, а не линейные (хомы),
2) Если хотите, чтобы вместо $W$ справа стояло тензорное произведение, то слева там тоже должно быть тензорное произведение.

caxap в сообщении #446137 писал(а):

то верно ли я понимаю, что $T^p_q(V)=\underbrace{V\otimes ... \otimes V}_p\otimes \underbrace{V^*\otimes ...\otimes V^*}_q$ это то же (с точностью до изоморфизма?), что пространство полилинейных функций, определённых на $q$ (!) экземплярах $V$ и $p$ (!) экземплярах $V^*$?

Просто я встречал по крайней мере три определения тензоров: как полилинейные отображения, элементы тензорного произведения и как массив чисел, который линейно преобразуется при смене базиса. В одной старой теме мне объяснили про связь первого и третьего и чем третий способ плох. В связи 1-го и 2-го я тогда не разобрался и хочу это сделать сейчас. Это одно и то же, да?

Да.

caxap в сообщении #446137 писал(а):

Вопрос 3. А что будет, если $V$ бесконечномерно? Можно ли тогда на нём сделать тензоры и все другие конструкции, которые делались в конечномерном случае?

Да, но ЕМНИП изоморфизма $\mathrm{Hom}(U, V) \cong V \otimes U^*$ не будет. [удалена фигня ] Не помню, почему.

caxap в сообщении #446137 писал(а):

Вопрос 4. Почему, когда говорят о симметрической или кососимметрической (= внешней) алгебре, оговаривают (Винберг, Кострикин), что характеристика поля нулевая? Что будет, если не ноль?

Если будет не ноль, то будет намного интересней В частности, как уже упоминалось, не будет линейного изоморфизма между этими алгебрами и пространствами (косо)симметричных тензоров.

ЗЫ: в характеристике 2 все эти вещи также вводятся, но немного не так, как для характеристики 0.

[caxap]

Kallikanzarid
Спасибо за развёрнутый ответ! Порядок в голове немного навелся

Kallikanzarid в сообщении #446166 писал(а):

Т.е. в характеристике 0 между пространством симметричных тензоров и симметрической алгеброй есть линейный изоморфизм, но об изоморфизме алгебр здесь говорить не приходится. В других характеристиках нет даже этого.

Я так понял с кососимметрическим случаем то же самое? $\Lambda^p(V)\not\simeq\Lambda \mathrm T^p(V)$ (вообще говоря)?
А что тогда нужно понимать под $p$-векторами и $p$-формами: кососимметрические тензоры или элементы внешней степени? Да и вообще, когда я вижу, скажем, $\Lambda^p V$ (или $\bigwedge^n V^*$ у вас), то что я должен под этим понимать?

-- 15 май 2011, 20:30 --

В Кострикине (Введение в алгебру, II) вообще (косо)симметрических степеней не вводится, а сразу говорится о пространствах (косо)симметрических тензоров в $T^p_q(V)$. Кстати, тут тоже оговаривается, что характеристика 0. Помимо исчезание того изоморфизма наверное какие-то ещё более приземлённые вещи изменяются?

-- 15 май 2011, 20:39 --

Kallikanzarid в сообщении #446166 писал(а):

The symmetric tensors are not closed under multiplication

Имеется в виду $\otimes$? А если вместо него взять $\lor$ (сначала $\otimes$, потом симметрирование)?

(Ох уж мой английский...)

Подскажите, пожалуйста, что такое "natural map" в русской терминологии?

[Kallikanzarid]

caxap в сообщении #446182 писал(а):

Я так понял с кососимметрическим случаем то же самое? $\Lambda^p(V)\not\simeq\Lambda \mathrm T^p(V)$ (вообще говоря)?

Да.

caxap в сообщении #446182 писал(а):

А что тогда нужно понимать под $p$-векторами и $p$-формами: кососимметрические тензоры или элементы внешней степени?

Элементы внешней степени (т.е. образы $(p,0)$-тензоров под проекцией на фактор).

-- Вс май 15, 2011 23:48:30 --

caxap в сообщении #446182 писал(а):

Имеется в виду $\otimes$?

Да.

caxap в сообщении #446182 писал(а):

А если вместо него взять $\lor$ (сначала $\otimes$, потом симметрирование)?

Не уверен, но по-моему не в характеристике 0 $\vee$ определяется по-другому.

-- Вс май 15, 2011 23:50:24 --

caxap в сообщении #446182 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, что такое "natural map" в русской терминологии?

Natural map - естественное преобразование.

[Kallikanzarid]

То есть, $\vee$ определяется так же, но нет естественного изоморфизма, который бы позволил притвориться, что это композиция тензорного произведения и симметрирования :)

[caxap]

Kallikanzarid в сообщении #446166 писал(а):

Т.е. в характеристике 0 между пространством симметричных тензоров и симметрической алгеброй есть линейный изоморфизм, но об изоморфизме алгебр здесь говорить не приходится.

Я не понял, почему не получается изоморфизма алгебр при характеристике 0, если в качестве умножения в пространстве симметрических тензоров рассматривать не $\otimes$, а $\mathrm{sym}\circ \otimes$.

[Padawan]

1.5. Выбрать базисы, в которых матрицы $A$ и $B$ имеют жорданову форму.
1.4. Точно также можно доказать в случае, если основное поле -- $\mathbb C$. А раз верно в $\mathbb C$, то $\det (A\otimes B)$ и $(\det A)^m(\det B)^n$ совпадают как многочлены от переменных $a_{ij}, b_{kl}$.

[Kallikanzarid]

caxap в сообщении #446239 писал(а):

Я не понял, почему не получается изоморфизма алгебр при характеристике 0, если в качестве умножения в пространстве симметрических тензоров рассматривать не $\otimes$, а $\mathrm{sym}\circ \otimes$.

Вы правы, получается.

[caxap]

Padawan в сообщении #446299 писал(а):

1.5. Выбрать базисы, в которых матрицы $A$ и $B$ имеют жорданову форму.

Спасибо, получилось! Но только для жордановой формы нужно, чтобы хар. многочлен раскладывался на линейные множители. Но в задаче про это ничего не сказано, т. е. $n$ и $m$, вообще говоря, не порядки матриц $A,B$.

Kallikanzarid
Ясно, спасибо.

[Padawan]

caxap в сообщении #446318 писал(а):

Padawan в сообщении #446299 писал(а):

1.5. Выбрать базисы, в которых матрицы $A$ и $B$ имеют жорданову форму.

Спасибо, получилось! Но только для жордановой формы нужно, чтобы хар. многочлен раскладывался на линейные множители. Но в задаче про это ничего не сказано, т. е. $n$ и $m$, вообще говоря, не порядки матриц $A,B$.

А если к алгебраическому замыканию исходного поля перейти?

[caxap]

Padawan в сообщении #446326 писал(а):

А если к алгебраическому замыканию исходного поля перейти?

Извиняюсь, а это должно быть очевидно, что если мы временно перейдём в $\mathbb C$, а потом вернёмся в исходное поле, то у хар. многочлена $A\otimes B$ не появится лишних корней?

Я так думаю. Пусть наше поле $\mathbb R$. Перейдём в $\mathbb C$ и пусть у $\chi_A$ есть мнимый корень, скажем, $i$ ; пусть у $\chi_B$ есть корень $2i$. Тогда у $\chi_{A\otimes B}$ должен быть корень $i\cdot 2i=-2$. Возвращаемся в $\mathbb R$ и видим у $\chi_{A\otimes B}$ корень, который не равен произведению никаких корней $\chi_A$ и $\chi_B$

-- 16 май 2011, 20:55 --

Что-то не так. Этим же рассуждением можно показать, что утверждение задачи неверно.

[caxap]

Вопрос 5. Почему $(V\otimes W)^*\not\simeq V^*\otimes W^*$ при бесконеномерном $V$? Везде оговаривают это, но нигде не поясняют причину

Вопрос 6. Тензорная алгебра -- это $\bigoplus_{p=0}^\infty T^p_0(V)$ или $\bigoplus_{p,q=0}^\infty T^p_q(V)$ ?

Вопрос 7. Чем градуированная алгебра лучше остальных?

Вопрос 8. Иногда в физике пишут, например, $t^{i}{}_{j}{}^{k}$, то есть подразумевается, что это элемент $V\otimes V^* \otimes V$. Но ведь всё равно это пространство изоморфно $T^2_1(V)=V\otimes V \otimes V^*$. К тому же так, по-моему, постоянно приходится следить за этим порядком (при умножениях тензоров, свёртках...). Например, тогда появляется разница между $x\otimes y$ и $y\otimes x$, где $x,y$ -- тензоры типов (1,0) и (0,1) соответственно. И что тогда будет линейным оператором: элемент $V\otimes V^*$ или $V^*\otimes V$? Короче, зачем мучатся, если есть изоморфизм?

[Xaositect]

5. Размерности (и мощности) разные. Для бесконечномерного пространства нет изоморфизма $V\cong V^*$
6. Первое.
7. На ней есть градуировка :) Больше структуры - может быть больше свойств.

По-поводу Жордановой формы и Кронекерова произведения - если перейти к алг. замыканию, то все будет хорошо, но это, конечно, надо себе один раз доказать. И да, могут появиться новые СЗ, напр. рассмотрим $A\colon\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ - поворот на $\frac{\pi}{2}$. Его СЗ $i$ и $-i$. А если рассмотреть $A\otimes A$ на $\mathbb{R}^2\otimes \mathbb{R}^2$, то любой тензор вида $x\otimes y + Ax\otimes Ay$ будет собственным с СЗ 1 ($A^2x\otimes A^2y = (-x)\otimes (-y) = x\otimes y$), а $x\otimes y - Ax\otimes Ay$ - собственным с СЗ -1. Все сходится.