Что это за интеграл? Эллиптический ли?

[SleepWalker]

При решении интеграла
$\int \frac{xdx}{(1-x^3)\sqrt{1-x^2}}$
Перепробывал различные способы: под частям, арксинус под знаком дифференциала, подстановки Эйлера.
Впрочем преподаватель сказал использовать подстановки Эйлера, но в новых обозначениях получился "жуткий монстр" в знаметеле с многочленом шестой степени, который имел один корень кратности два равный $-1$. Вот:
$t^6+3t^4+8t^3+3t^2+1$
А насколько я понимаю (по крайней мере научили меня так) мне надо получить данный многочлен в виде $(x-a)^n...(x^2 + px + q)^m$ (написал коряво, более точно см. Кудрявцев "Курс мат. анализа" том I, параграф 19 пункт 4)
Но не получается упростить сомножитель $t^4-2t^3+6t^2-2t+1$
Подозреваю, что коэффициент $p$ далеко не целое число...
Полистал Фихтенгольца, наткнулся на подстановки Абеля, помогут ли?
Далее в этой литературе дают совет, что порой удобно заменять $x$ на $\sin t$.
После такой замены решаемый мною интеграл принял вид:
$\int \frac{dt}{1-\sin^3t}$
Решить его не могу, матпакет Mathematica даёт жуткий ответ с мнимыми единицами...
"Берущийся" ли этот интеграл?

zhoraster:

Не забывайте ставить знаки долларов вокруг формул и обратную косую перед названием стандартной функции:

$\sin t$

[Padawan]

Конечно берущийся, раз к рациональной дроби сводится.

[zhoraster]

SleepWalker в сообщении #446125 писал(а):

Решить его не могу, матпакет Mathematica даёт жуткий ответ с мнимыми единицами...

ИСН в сообщении #263311 писал(а):

прога тупит с упрощением (это часто бывает; не зря в ней есть Simplify[] и FullSimplify[], иногда даже хочется, чтобы было ещё SimplifyItNowYouBitch[]).

[Someone]

SleepWalker в сообщении #446125 писал(а):

Впрочем преподаватель сказал использовать подстановки Эйлера, но в новых обозначениях получился "жуткий монстр" в знаметеле с многочленом шестой степени, который имел один корень кратности два равный $-1$. Вот:
$t^6+3t^4+8t^3+3t^2+1$

А Вы которую из подстановок Эйлера использовали? Здесь 4 варианта: $\sqrt{1-x^2}=(1\pm x)t$ и $\sqrt{1-x^2}=1\pm xt$. Вариант $\sqrt{1-x^2}=(1-x)t$, если не ошибаюсь, даёт не такой уж и страшный интеграл. Правда, иррациональные коэффициенты всё равно появляются.

[Joker_vD]

SleepWalker в сообщении #446125 писал(а):

Но не получается упростить сомножитель $t^4-2t^3+6t^2-2t+1$

Даю подсказку: разделить на $t^2$ и сделать замену $t+\frac1t=x$ (при этом $t^2+\frac1{t^2}=x^2-2$).