Топология: связность множества точек на плоскости

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #445967 писал(а):

Куда более интересен вопрос, связно ли $\mathbb{Q}^n$.

Любая линия -- несчётна.

[gris]

Да, к сожалению, множество рациональных точек на прямой несвязно. Между двумя рациональными точками найдётся иррациональная.

[Kallikanzarid]

gris в сообщении #445973 писал(а):

Любая линия -- несчётна.

А я что-то говорил о линейной связности?

-- Вс май 15, 2011 14:09:07 --

gris в сообщении #445973 писал(а):

Да, к сожалению, множество рациональных точек на прямой несвязно. Между двумя рациональными точками найдётся иррациональная.

В таком случае вам не составит труда продемонстрировать два открытых множесва из определения, так? :)

УПД: вообще с одномерным случаем все действительно просто, искомыми множествами будут, например, $(-\infty, \sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}, +\infty)$. А вот с $n$-мерным случаем ($n > 1$) все уже сложнее, хотя я, кажется, уже придумал, как показать несвязность.

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #445975 писал(а):

А я что-то говорил о линейной связности?

Во-первых, да:

Lily_) в сообщении #445959 писал(а):

две любые точки из этого множества можно соединить линией, целиком принадлежащей этому множеству.

Во-вторых, топологически-то оно тривиально несвязно -- как декартово произведение несвязных, например.

[Kallikanzarid]

Достаточно показать, что для любого $n = 1, 2, \ldots$ найдется конечное число попарно непересекающихся открытых множеств из $\mathbb{R}^n$, объединение которых в пересечении с $\mathbb{Q}^n$ даст все $\mathbb{Q}^n$. Легко показать, что требуемому условию удовлетворяет $2^n$ множеств вида

$$U_{R_1 R_2 \ldots R_n} = \bigcap_{i = 1}^n\{x^i \in \mathbb{R}: x^i \mathbin{R_i} \sqrt{2}\},$$

где $R_i \in \{<, >\}$ - бинарные отношения.

-- Вс май 15, 2011 14:30:01 --

ewert в сообщении #445985 писал(а):

Во-вторых, топологически-то оно тривиально несвязно -- как декартово произведение несвязных, например.

Ну да :)

[gris]

Хоть и не я говорил, но присоединюсь, что имеется в виду не отрезок, а непрерывная кривая. Множество её точек несчётно (кроме вырожденного случая).
Но тут я опасаюсь залезать в дебри определений. Связность множества и связность топологического пространства, конечно, связаны, но лучше отделять одно от другого, Вы правы. По крайней мере, я не возьмусь тут консультировать

А сколько двусмысленных слов: конечно, связаны, по крайней мере, отделять
Каламбур-с!

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #445975 писал(а):

с одномерным случаем все действительно просто, искомыми множествами будут, например, $(-\infty, \sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}, +\infty)$. А вот с $n$-мерным случаем ($n > 1$) все уже сложнее

Да чего там сложного -- возьмите два соотв. полупространства, и дело с концом.

[Kallikanzarid]

gris в сообщении #445987 писал(а):

Но тут я опасаюсь залезать в дебри определений. Связность множества и связность топологического пространства, конечно, связаны, но лучше отделять одно от другого, Вы правы. По крайней мере, я не возьмусь тут консультировать

Можете посмотреть в Википедии: http://en.wikipedia.org/wiki/Connected_space

-- Вс май 15, 2011 14:36:19 --

ewert в сообщении #445988 писал(а):

Да чего там сложного -- возьмите два соотв. полупространства, и дело с концом.

Точно

[gris]

В википедии одно, в другом месте другое.
Тут недавно на десяти станицах обсуждали вопрос об обычном пределе, а уж в вопросы связности может отправиться, не рискуя в них застрять, только очень начитанный человек А то и голову можно потерять.

[ewert]

gris в сообщении #445991 писал(а):

в другом месте другое.

В каком другом?...

Там приведено стандартное определение топологической связности.

[gris]

Ну, например, такое определение: Топологическое пространство связно, если любое его подмножество, открытое и замкнутое одновременно, либо пусто, либо совпадает со всем пространством. (Виро, "Общая патопология").

Ну да, там есть слово "согда", говорящее об эквивалентности, но ведь она не настолько уж и очевидна.

Определение связности множеств тоже не так уж безобидно, как кажется.

[Kallikanzarid]

Если существует такое открытое собственное подмножество $U \subset X$, что $X \setminus U$ - открытое, то из очевидных равенств $(X \setminus U) \cap U = \varnothing$ и $(X \setminus U) \cup U = X$ получаем, что $X$ - несвязное. Обратно, если $X$ - несвязное, то $X = U \cup V,\ U \cap V = \varnothing$, $U$ и $V$ - открытые, откуда получаем, что они оба замкнутые: $U = X \setminus V,\ V = X \setminus U$.

Этот пример, кстати, иррелевантен, потому что от того, что мы взяли вместо определения критерий, понятие связности никак не изменилось.

[ewert]

gris в сообщении #446010 писал(а):

Ну, например, такое определение: Топологическое пространство связно, если любое его подмножество, открытое и замкнутое одновременно, либо пусто, либо совпадает со всем пространством. (Виро, "Общая патопология").

Это те же яйца, только в профиль. Если пространство несвязно по Виро, то дополнение того подмножества (которое одновременно и открыто, и замкнуто) будет открытым. Т.е. получается пара подмножеств непустых, непересекающихся, открытых и покрывающих всё пространство, как в Вике и сказано. И наоборот.

[gris]

Я просто ответил на вопрос о "другом месте". Определения эквивалентные, да, но разные. Я же не привёл пример с перестановкой слов или на китайском языке.
Формальная, формульная запись определений разная. Для кого-то эквивалентность очевидно, а кто-то на этом застрянет. Таких что, убивать лопатой?

То, что вопрос о таковых определениях практического смысла не имеет, согласен. Глясперленшпиль.

Кстати, а может ли множество ТС быть несвязным, если мы на плоскости другую топологию наведём?

[Kallikanzarid]

gris в сообщении #446024 писал(а):

Кстати, а может ли множество ТС быть несвязным, если мы на плоскости другую топологию наведём?

Дискретная топология.

(Оффтоп)

Если вам интересно, почитайте учебник Борисовича "Введение в топологию".