Топология: связность множества точек на плоскости

[Lily_)]

Привет всем. Не сплю вторую ночь из-за задачи, которая этого не стоит. Вот она, собственно:Доказать,что множество точек плоскости,у которых хотя бы одна координата рациональна - связно.

[gris]

Может быть попросту попробовать связать две такие точки? Этаким уголком. Или двумя. Или отрезком, параллельным чему-нибудь. Вариантов расположения точек немного.

[Lily_)]

Каким таким уголком, что-то я не совсем понимаю(

[gris]

Ну что такое связное множество?
Нам же надо просто привести достаточный признак связности.

[Lily_)]

две любые точки из этого множества можно соединить линией, целиком принадлежащей этому множеству. Я понимаю, что тут надо фиксировать рациональную координату и проводить линию, множество похоже на решетку, с пересечениями в точках с обеими рациональными координатами, и ступенчатой закарючкой все они связаны, так что ли?

-- Вс май 15, 2011 12:17:00 --

я не могу обосновать связность строго, а про множество все понятно, какой достаточный признак связности???

[gris]

Ну да.
Просто можно рассмотреть разные случаи и для каждого построить такую фигуру из заведомо связных кусков.
А можно просто обнулить одну из координат в каждой точке и получить "промежуточные пункты". Но всё-равно надо доказать связность всех отрезков пути.

[Lily_)]

Последнее сообщение меня пугеает, различные случаи-это что ли точки с координатами типа-(рац, рац), (нерац, рац) и нужно взять пути между ними и про них доказывать?Про обнуление координаты я вообще не поняла((( типа рациональные точки на каждой из осей, и причем тут промежуточные узлы???

[gris]

Да вы только что сказали его.
А то вдруг Вам надо доказывать топологическую связность как невозможность разбиения и т.д.

Тут достаточно рассмотреть три случая. И непосредственно построить ломаные, целиком принадлежащие множеству. То есть показать, что ломаная состоит из точек, у которых одна координата рациональна.

[Lily_)]

Все вроде понятно, только очень странно...

[gris]

Различные случаи такие.
Отрезок, если есть две рациональные координаты, совпадающие по названию и по значению.
Ступенька, если рациональные координаты совпадают по названию, но различны по значению.
Уголок, если рациональные координаты не совпадают по названию.
(название имеется в виду первая координата или вторая)
Вы, главное, поймите суть, а формализовать доказательство можно в каком угодно виде.

[Lily_)]

Ещё хотела спросить про ломаные, про них что можно сказать, или можно просто схематически постороить примеры таких ломаных, или алгоритм пути построить?

[gris]

Это эквивалентно такому рассуждению. Через каждую точку множества проведём горизонтальную прямую, если первая координата точки рациональна, и вертикальную, если вторая координата рациональна. Любая такая прямая связна и целиком принадлежит множеству. Любая такая прямая пересекается с одной из осей координат. Оси координат принадлежат множеству.

То есть: Любую точку множества можно связать с началом координат. Ну куда уж короче? (не имеется в виду длина пути).

[Kallikanzarid]

Куда более интересен вопрос, связно ли $\mathbb{Q}^n$.

[gris]

Связно ли множество точек плоскости, у которых обе координаты рациональны?
Тут мое рассуждение не пройдёт и надо действовать по-другому

[Lily_)]

а что Q несвязно?